2024届新教材高中数学二轮复习计数原理二项式定理学案

第 7 讲　计数原理、二项式定理 高频考点 高考预测 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 主要是考查两个原理以及排列、组合的应用，有时也与概率问题相结合的形式出现；二项展开式项的系数、特定的项，通过对通项公式的化简和运算确定特定项，利用赋值法求的展开式的各项系数和 . 排列、组合 二项式定理 1. (2023· 全国新高考 Ⅱ 卷 ) 某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有 ( D ) A ． C ·C 种 B ． C ·C 种 C ． C ·C 种 D ． C ·C 种 【解析】　 ∵ 初中部和高中部分别有 400 和 200 名学生， ∴ 人数比例为 400 ∶ 200 ＝ 2 ∶ 1 ，则需要从初中部抽取 40 人，高中部取 20 人即可，则有 C ·C 种．故选 D. 2. (2023· 全国甲卷理科 ) 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为 ( B ) A ． 120 B ． 60 C ． 40 D ． 30 【解析】　先从 5 人中选 1 人连续两天参加服务，共有 C ＝ 5 种选法，然后从剩下 4 人中选 1 人参加星期六服务，剩下 3 人中选取 1 人参加星期日服务，共有 C ·C ＝ 12 种选法，根据分步乘法计数原理可得共有 5×12 ＝ 60 种选法．故选 B. 3. (2023· 全国乙卷理科 ) 甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有 ( C ) A ． 30 种 B ． 60 种 C ． 120 种 D ． 240 种 【解析】　根据题意可得满足题意的选法种数为： C ·A ＝ 120. 故选 C. 4. (2023· 全国新高考 Ⅱ 卷 ) 甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 ( B ) A ． 12 种 B ． 24 种 C ． 36 种 D ． 48 种 【解析】　把丙和丁捆绑在一起， 4 个人任意排列，有 A ·A ＝ 48 种情况，甲站在两端的情况有 C A A ＝ 24 种情况， ∴ 甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 48 － 24 ＝ 24 种，故选 B. 5. (2023· 全国 Ⅰ 卷 ) ( x ＋ y ) 5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为 ( C ) A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 20 【解析】　 ( x ＋ y ) 5 展开式的通项公式为 T r ＋ 1 ＝ C x 5 － r y r ( r ∈ N 且 r ≤5) ，所以 的各项与 ( x ＋ y ) 5 展开式的通项的乘积可表示为： xT r ＋ 1 ＝ x C x 5 － r y r ＝ C x 6 － r y r 和 T r ＋ 1 ＝ C x 5 － r y r ＝ C x 4 － r y r ＋ 2 ，在 xT r ＋ 1 ＝ C x 6 － r y r 中，令 r ＝ 3 ，可得： xT 4 ＝ C x 3 y 3 ，该项中 x 3 y 3 的系数为 10 ，在 T r ＋ 1 ＝ C x 4 － r y r ＋ 2 中，令 r ＝ 1 ，可得： T 2 ＝ C x 3 y 3 ，该项中 x 3 y 3 的系数为 5 ，所以 x 3 y 3 的系数为 10 ＋ 5 ＝ 15. 故选 C. 6. (2023· 全国新高考 Ⅰ 卷 ) 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有 _ 64 __ 种 ( 用数字作答 ) ． 【解析】　若选 2 门，则只能各选 1 门，有 C C ＝ 16 种，如选 3 门，则分体育类选修课选 2 ，艺术类选修课选 1 ，或体育类选修课选 1 ，艺术类选修课选 2 ，则有 C C ＋ C C ＝ 24 ＋ 24 ＝ 48 ，综上共有 16 ＋ 48 ＝ 64 种不同的方案． 7. (2023· 全国新高考 Ⅰ 卷 ) ( x ＋ y ) 8 的展开式中 x 2 y 6 的系数为 _ － 28 __( 用数字作答 ) ． 【解析】　 ( x ＋ y ) 8 的通项公式为 T r ＋ 1 ＝ C x 8 － r y r ，当 r ＝ 6 时， T 7 ＝ C x 2 y 6 ，当 r ＝ 5 时， T 6 ＝ C x 3 y 5 ， ∴ ( x ＋ y ) 8 的展开式中 x 2 y 6 的系数为 C － C ＝ － ＝ 28 － 56 ＝－ 28. 8. (2023· 全国卷 Ⅱ 卷 )4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有 _ 36 __ 种． 【解析】　 ∵ 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学， ∴ 先取 2 名同学看作一组，选法有： C ＝ 6 ，现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： A ＝ 6 ，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 6×6 ＝ 36 种． 1. 解决排列组合问题的方法 (1) 特殊元素、特殊位置优先法． (2) 元素相邻采用捆绑法，元素不相邻采用插空法． (3) 至多至少问题可以采用间接法． 【提醒】　谨防 “ 两个误区 ” (1) 注意分类标准要明确，做到不重不漏， (2) 注意区分是排列问题还是组合问题． 2. 求二项展开式中项的方法 (1) 根据所给的条件写出通项公式，建立方程确定指数，如常数项令指数为 0 ，有理项令指数为整数． (2) 根据所求的指数确定对应的项． 3. 两个多项式的积与三项展开式的特定项，利用二项展开式配合多项式乘法讨论求解． 4. 求解二项式系数和各项系数和常用赋值法． 【提醒】　谨防 “