第六章2.1 随机变量
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课程标准1.通过具体实例,了解随机变量的概念及含义.2.会用随机变量表示随机事件.
基础落实·必备知识全过关
知识点 随机变量的概念在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示. 随机变量是试验结果数量化,变量的一个取值代表一个随机事件名师点睛随机变量可将随机试验的结果数量化所谓的随机变量不过是建立起样本空间与实数的一个对应关系.如设随机变量X表示掷骰子掷出的点数,则X=1,2,3,4,5,6,或者说X的取值范围是{1,2,3,4,5,6}.
过关自诊1.[人教A版教材习题]举出两个离散型随机变量的例子. 提示 答案不唯一,如:(1)一天内光顾某超市的人数X;(2)某次数学测验,全班50个同学测验及格的人数Y.
2.[人教A版教材习题]下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)抛掷2枚骰子,所得点数之和;(2)某足球队在5次点球中射进的球数;(3)任意抽取一瓶标有1 500 mL的饮料,其实际含量与规定含量之差.
提示 (1)能用离散型随机变量表示.点数之和X可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.{X=k}表示掷出的点数之和为k.(2)能用离散型随机变量表示.进球个数Y可能的取值为0,1,2,3,4,5.{Y=k}表示射进k个球.(3)不能用离散型随机变量表示.
3.[人教A版教材习题]张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口,每个路口可能遇到红灯或绿灯.(1)写出随机试验的样本空间;(2)设他可能遇到红灯的次数为X,写出X的可能取值,并说明这些值所表示的随机事件.
提示 (1)样本空间={(红,红,红,红),(红,红,红,绿),(红,红,绿,红),(红,绿,红,红), (绿,红,红,红),(红,红,绿,绿),(红,绿,红,绿),(红,绿,绿,红),(绿,绿,红,红),(绿,红,绿,红),(绿,红,红,绿),(红,绿,绿,绿),(绿,红,绿,绿),(绿,绿,红,绿),(绿,绿,绿,红), (绿,绿,绿,绿)},共含16 个样本点.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.事件{X=0}表示4个路口遇到的都不是红灯;事件{X=1}表示路过的4个路口中只有1个路口遇到红灯;事件{X=2}表示路过的4个路口中只有2个路口遇到红灯;事件{X=3}表示路过的4个路口中只有3个路口遇到红灯;事件{X=4}表示4个路口遇到的都是红灯.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 随机变量的判定【例1】 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.(1)某机场候机厅中某日的旅客数量;(2)某路口在某时间段内查处酒驾的人数;(3)某日济南到北京的某次长途汽车到北京站的时间;(4)体积为1 000 cm3的球的半径长.
解 (1)旅客人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.(3)长途汽车到达的时间可在某一区间内任取一值,是随机的,因此是随机变量.(4)球的体积为1 000 cm3时,球的半径为定值,不是随机变量.
规律方法 随机变量的辨析方法
变式训练1(1)下列变量中,不是随机变量的是( )A.一名射手射击一次命中的环数B.标准状态下,水沸腾时的温度C.抛掷两枚骰子,所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数B解析 B选项中标准状态下,水沸腾时的温度是一个确定值.
(2)10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是( )A.取到产品的件数B.取到正品的概率C.取到次品的件数D.取到次品的概率C解析 选项A中取到产品的件数是一个常量不是变量,选项B,D中的量也是一个定值,而选项C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.
探究点二 用随机变量表示随机事件的结果【例2】 写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)一个袋中装有8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数为X;(2)一个袋中有5个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,取出的球的最大号码记为X.
解 (1){X=0}表示“取5个球全是红球”;{X=1}表示“取1个白球,4个红球”;{X=2}表示“取2个白球,3个红球”;{X=3}表示“取3个白球,2个红球”.(2){X=3}表示“取出的球编号为1,2,3”;{X=4}表示“取出的球编号为1,2,4;1,3,4或2,3,4”;{X=5}表示“取出的球编号为1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5或3,4,5”.
变式探究本例(2)中,若将“最大”改为“最小”,其他条件不变,应如何解答. 解 {X=1}表示“取出的球的编号为1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5或1,4,5”.{X=2}表示“取出的球的编号为2,3,4;2,3,5;2,4,5”.{X=3}表示“取出的球的编号为3,4,5”.
规律方法 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.
变式训练2写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)从学校回家要经过3个红绿灯
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 2.1随机变量 课件
