知识梳理·自主探究师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究知识探究问题:第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕,某志愿者从济南前往北京参加志愿者活动,他有两类快捷途径可供选择:一是乘飞机,二是乘高铁.假如这天飞机有3个航班可乘,高铁有4个班次可乘.那么该志愿者从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢?提示:该志愿者共有3+4=7种快捷途径可选.
1.分类加法计数原理完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N= 种方法.(也称“加法原理”)2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N= 种方法.(也称“乘法原理”)思考:应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是什么?提示:应用分类加法计数原理的关键是分类,且每一类办法中的每种方法都能独立完成这件事;应用分步乘法计数原理的关键是分步,且每一步都不能完成这件事情,只有每一步都完成了,才能完成这件事情.m1+m2+…+mnm1·m2·…·mn
师生互动·合作探究探究点一分类加法计数原理A.6个 B.8个 C.12个 D.16个解析:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n.当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6个.故选A.
(2)(2021·甘肃静宁期中)如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落的不通情况有( )A.9种 B.11种 C.13种 D.15种解析:(2)按照可能脱落的个数分类讨论,若脱落1个,则有1,4两种情况,若脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况,若脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种情况,若脱落4个,则有(1,2,3,4)共1种情况.综上,共有2+6+4+1=13种情况.故选C.
A.6个 B.8个 C.12个 D.16个解析:因为双曲线的焦点在x轴上,所以m>0,n>0,当m=1时,n=1,2,3,4;当m=2时,n=1,2,3,4;当m=3时,n=1,2,3,4;当m=4时,n=1,2,3,4.即所求的双曲线共有4+4+4+4=16个.故选D.
方法总结(1)分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准下分类,要做到分类“不重不漏”.(2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程.
探究点二分步乘法计数原理[例2] (1)若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:2 019+100=2 119),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为2 019的“简单的”有序对的个数是( )A.100 B.96 C.60 D.30解析:(1)由题意可知,只要确定了m,n即可确定一个有序数对(m,n),则对于数m,利用分步乘法计数原理,第一位取法有3种:0,1,2;第二位取法有1种:0;第三位取法有2种:0,1;第四位取法有10种:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;所以值为2 019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10=60.故选C.
(2)(2021·江苏苏州中学高二期中)某校文创社团近期设计了两款明信片,借此展示学校的文化底蕴和春天美景,一经推出,广受欢迎.为了支持慈善事业,校志愿者社团派出甲、乙等5人帮助文创社团售卖此两款明信片,5人分两组,每组售卖同一款明信片.若甲和乙必须售卖同一款明信片,且每款明信片至少由两名志愿者售卖,则不同的售卖方案种数为( )A.8 B.10 C.12 D.14解析:(2)根据题意,分2步进行分析:①将5人分为3,2的两组,要求甲和乙在同一组,若甲和乙2人一组,有1种分组方法,若甲和乙和其他1人组成一组,有3种分组方法,则有1+3=4种分组方法;②将分好的两组安排售卖两款明信片,有4×2=8种安排方法.故选A.
方法总结利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路(1)应用分步乘法计数原理时,完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可.(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路:①分步:将完成这件事的过程分成若干步;②计数:求出每一步中的方法数;③结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果.
[针对训练] (1)(2021·北京丰台高二期末)某校开展某体育活动,共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目,各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性,在安排比赛顺序时,多人多足不排在第一场,拔河排在最后一场,则不同的安排方法种数为( )A.3 B.18 C.21 D.24解析:(1)根据题意,多人多足不排在第一场,拔河排在最后一场,则多人多足有3种安排方法,将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置,有3×2×1=6种安排方法,则有3×6=18种安排方法.故选B.
(2)(2021·山东临沂一中月考)如图所示是望楼传递信息的一种方式,在九宫格中,每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换,从而一共可以有512种不同的颜色组合,即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格(如图所示即满足要求),则一共可以传递的不同信息种数是( )A.14 B.12 C.9 D.6解析:(2)根据每行中紫色小方格的位置,可分三步:第一步,在第一行中,有且只有1个紫色小方格,有3种情况;第二步,在第二行的3个
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 基本计数原理的简单 课件
