第2课时 函数概念的综合应用
学习目标 凡事预则立1.结合教材实例会求具体函数的定义域.(数学运算、逻辑推理)2.能求简单函数的值域.(数学运算、直观想象)
类型一 具体函数的定义域(数学运算)【典例】求下列函数的定义域:(1)y=2+;(2)y=·;(3)y=(x-1)0+.【解题思维】解析式中含有多个式子,则用大括号将x满足的条件列成不等式组,求交集. 合作探究·形成关键能力
【解析】(1)当且仅当x-2≠0,即x≠2时,函数y=2+有意义,所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.(2)为使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得1≤x≤3,所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.(3)为使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x>-1,且x≠1,所以这个函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.
【总结升华】求函数定义域的依据(1)分式中的分母不为0;(2)二次根式的被开方数不小于0;(3)0次幂的底数不为0;如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况.
【即学即练】 求下列函数的定义域.(1)y=3-x;(2)y=2-;(3)y=.
【解析】(1)函数y=3-x的定义域为R.(2)由得0≤x≤,所以函数y=2-的定义域为.(3)由于00无意义,故x+1≠0,即x≠-1.又x+2>0,即x>-2,所以x>-2且x≠-1.所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.
【补偿训练】求下列函数的定义域:(1)f=;(2)f=;(3)f=-+.
【解析】(1)要使函数有意义,只需x2-3x+2≠0,即x≠1且x≠2,故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2};(2)要使函数有意义,则-x>0且x+1≠0,解得x<0且x≠-1,所以函数的定义域为∪;(3)要使函数有意义,则,解得-≤x<2,且x≠0,故定义域为∪.
类型二 含参数的定义域问题(数学运算)【典例】若函数f(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.【解析】函数的定义域为R,即不等式mx2+2mx+4>0的解集为R.(1)当m=0时,得到4>0,显然不等式的解集为R;(2)当m<0时,二次函数y=mx2+2mx+4开口向下,函数值y不恒大于0,故解集为R不可能.(3)当m>0时,二次函数y=mx2+2mx+4开口向上,由不等式的解集为R,得到二次函数与x轴没有交点,即Δ=4m2-16m<0,即m(m-4)<0,解得0<m<4;综上,m的取值范围为.
【总结升华】 定义域是R的解题方法定义域是R,转化成不等式在R上恒成立,通过解恒成立问题,求出参数的范围.
【即学即练】“0≤a<4”是“函数y=的定义域为R”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若函数y=的定义域为R,则有ax2+ax+1≥0恒成立.当a=0时,1>0成立;当a≠0时,,解得0<a≤4,所以0≤a≤4.所以“0≤a<4”是“函数y=的定义域为R”的充分不必要条件.
【补偿训练】已知函数f(x)=(a∈R),求f(x)的定义域.【解题思维】要使函数有意义,须满足ax+1≥0,即ax≥-1,但在这个一元一次型不等式中,x的系数是参数,符号不定,对不等号方向构成不同的影响,需分类讨论.【解析】要使函数有意义,须有ax+1≥0,即ax≥-1,当a>0时,由ax≥-1,得x≥-;当a=0时,由ax≥-1,得0≥-1,此时,x取任意实数都成立;当a<0时,由ax≥-1,得x≤-.所以函数的定义域为:当a>0时,x∈;当a=0时,x∈R;当a<0时,x∈.
类型三 简单函数的值域(直观想象)角度1 观察法、配方法、分离常数法【典例】求下列函数的值域.(1)y=-1;(2)y=x2-2x+3,x∈{-2,-1,0,1,2,3};(3)y=x2-6x+11;(4)y=.
【解析】(1)(观察法)因为≥0,所以-1≥-1,所以y=-1的值域为[-1,+∞).(2)(直接法)因为x∈{-2,-1,0,1,2,3},所以把x代入y=x2-2x+3,得y=11,6,3,2,所以y=x2-2x+3的值域为{2,3,6,11}.(3)(配方法)y=x2-6x+11=(x-3)2+2≥2,所以y=x2-6x+11的值域为[2,+∞).(4)(分离常数法)y===2+,显然≠0,所以y≠2,故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).【名师点拨】求一次函数,反比例函数,含有二次根式、绝对值等比较熟悉的式子的函数的值域,可以由函数解析式直接观察得出,有时可以结合函数的图象、不等式的性质等.
角度2 图象法【典例】求下列函数的值域.(1)y=x2-4x+6(1≤x≤5);(2)y=-(x≥3).
【解析】(1)因为x∈[1,5],函数y=x2-4x+6的图象如图所示,结合图象可得函数的值域为[2,11].(2)函数y=-的图象如图所示,当x≥3时,-2≤y<0,所以函数的值域为[-2,0).
【总结升华】1.求函数值域的常用方法(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域.(3)分离常数法:此方法主要是针对分式函数,即将分式函数转化为“反比例函数”的形式,便于求值域.
2.常见函数的值域(1)一次函数在指定区间的图象是一条线段,其最值由两个端点值确定;(2)二次函数在指定区间的值域,要考虑定义域、开口方向、对称轴,结合二次函数的图象, 从两个端点值及顶点的纵坐标中产生最大值和最小值;(3)形如y=(a≠0,c≠0)的函数定义域是{x∈R},值域是{y∈R},可以通过凑分母,平移反比例函数图象而得. [闪问]二次函数在指定区间上的最值一定是端点函数值吗?提示:不一定,当对称轴穿过区间时需要考虑顶点的纵坐标,要结合图象来确定最值.
【即学即练】1.直接写出下列函数的值域:(1)y=1-2x; (2)y= |x|-1;(3)y=;(4)y=-3.【解析】(1)一次函数的定义域、值域都是R.(2)由绝对值的性质
2023-2024学年北师大版必修第一册 第二章 §2 2.1 第2课时 函数概念的综合应用(课件)
