知识探究·素养培育探究点一[问题1] (1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米,设计速度目标值为380千米/小时,若京沪高速铁路时速按300千米/小时计算,火车行驶x小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫作该函数的解析式;(2)如图是我国人口出生率变化曲线:函数的表示方法
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01根据初中所学知识,请判断问题(1),(2),(3)分别是用什么法表示函数的?提示:解析法、图象法和列表法.
知识点1:函数的表示方法函数的表示方法通常有三种,它们是 、 和 .(1)用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法.(2)用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法.(3)一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法.[思考] 函数的三种表示方法各有什么优缺点?提示:函数的三种表示法的优缺点列表法图象法解析法
优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观,而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少个值的对应关系图象法能形象、直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大
[例1] 某商场经营一批进价是30元的商品,在市场试销中发现,此商品销售单价x(元)与日销售量y(台)之间有如下关系:x35404550…y57422712…在所给的平面直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点,并确定你认为比较适合的x与y的一个一次函数解析式y=f(x).
解:作出点(35,57),(40,42),(45,27),(50,12),并用直线将其连接起来,如图,则可知其为一次函数,
变式训练1-1:已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域、值域分别是( )(A)(-3,3),(-2,2)(B)[-3,3],[-2,2](C)[-2,2],[-3,3](D)(-2,2),(-3,3)解析:由题图易知x∈[-3,3],y∈[-2,2].故选B.
解:(1)该函数关系用列表法表示为变式训练1-2:某问答游戏的规则是:共5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,答对不扣分,试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.x012345y50403020100
(2)该函数关系用图象法表示,如图所示.(3)该函数关系用解析法表示为y=50-10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).
方法总结理解函数的表示法三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
探究点二分段函数提示:(1)函数M(x)只有1个解析式.(2)当x≤-1,-1<x≤0,x>0时,函数M(x)的表达式不相同.知识点2:分段函数有些函数在其定义域中,对于自变量x的取值范围不同,对应关系也不同,这样的函数通常称为分段函数.
解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不符合题意,舍去.当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0.所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意.当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意.综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.解:(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1,即2m-1>3m-5,解得m<4,又m≥2,所以实数m的取值范围为[2,4).
解:(1)因为-3<1,所以f(-3)=-2×(-3)+1=7.因为7>1,所以f(f(-3))=f(7)=72-2×7=35.因为3>1,所以f(3)=32-2×3=3,所以f(f(3))=f(3)=3.所以f(f(-3))>f(f(3)).
(2)画出函数的图象;解:(2)函数图象如图实线部分所示.
(3)若f(x)=1,求x的值.
方法总结分段函数问题的常见解法(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
探究点三求函数的解析式[问题3] 已知f(x-1)=x2,那么函数f(x)的解析式是f(x)=x2吗?为什么?提示:函数f(x)的解析式不是f(x)=x2.这是因为f(x-1)运算法则施加的对象是x-1,而f(x-1)=x2中等号后面是对自变量x表达的运算,不是x-1,等号前后表达不统一.
答案:(1)x2-4x+3(x≥1)
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)= ;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)= .
变式训练3-1:把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x”求函数f(x)的解析式.
方法总结求函数解析式的四种常用方
2023-2024学年北师大版必修第一册 函数的表示法(课件)
