知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题.问题 你还能列举出生活中的其他实例吗？
知识点一 导数的概念设函数y＝f（x），当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f（x0）变到f（x1），函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个 固定 的值，那么这个值就是函数y＝f（x）在点x0的瞬时变化率 .在数学中，称 瞬时变化为函数y＝f（x）在点x0处的导数，通常用符号f'（x0）表示，记作f'（x0）＝＝ . 固定 瞬时变化率 瞬时变化率
提醒 对于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数应注意以下四点：①函数y＝f（x）在x＝x0处的导数即为函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛；②函数在x＝x0处的导数f'（x0）只与x0有关，与Δx无关.函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量；③函数f（x）应在x0及其附近有意义，否则导数不存在.若极限 不存在，则称函数y＝f（x）在x＝x0处不可导.若f（x）在开区间（a，b）内每一点处都可导，称f（x）在开区间（a，b）内可导；
④在导数的定义式f'（x0）＝ 中，Δx趋于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.这时Δx是一个无穷小量，当Δx＞0（或Δx＜0）时，Δx趋于0表示x0＋Δx从右边（或从左边）趋近于x0.当Δx趋于0时，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）趋于0，但趋于f'（x0）.
1.曲线的割线与切线（1）设函数y＝f（x）的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f（x）在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如图①，它是经过A（x0，f（x0））和B（x0＋Δx，f（x0＋Δx））两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y＝ f（x）在点A处的一条 割线 ； 割线 知识点二 导数的几何意义
（2）如图②，设函数y＝f（x）的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f（x）趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f（x）在点A处的 切线 ，或称直线l和曲线y＝f（x）在点A处 相切 .该切线的斜率就是函数y＝f（x）在x0处的导数 f'（x0） .切线 相切 f'（x0）
提醒 对曲线的切线的再认识：①曲线的切线是指曲线上某一点处的切线，根据切线的定义知曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线是过点（x0，f（x0））的所有割线的极限位置；②曲线y＝f（x）与它的一条切线一定有公共点（x0，f（x0））即切点，但不一定只有切点这一个公共点，还可能有其他公共点；③曲线y＝f（x）与一条直线l只有一个公共点时，直线l不一定是曲线y＝f（x）的切线，可以在公共点处用切线的定义检验；④曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线至多有一条；⑤若函数y＝f（x）在x＝x0处有导数f'（x0），则曲线y＝f（x）上必有唯一一条以（x0，f（x0））为切点的切线；当曲线y＝f（x）上在切点（x0，f（x0））处的切线垂直于x轴时，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数不存在.
2.导数的几何意义函数y＝f（x）在x0处的导数 f'（x0） ，是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的 斜率 .f'（x0） 斜率 1.若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
2.函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f'（x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数在某点处的导数f'（x0）是一个常数.（ ）答案：（1）√ （2）函数y＝f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x＝x0处的函数值.（ ）答案：（2）√ （3）函数f（x）＝0没有导数.（ ）答案：（3）× （4）直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.（ ）答案：（4）×
2.函数f（x）的图象如图所示，则（ ）A.f'（1）＞f'（2）＞f'（3）B.f'（2）＞f'（1）＞f'（3）C.f'（3）＞f'（2）＞f'（1）D.f'（3）＞f'（1）＞f'（2）解析：由函数的图象可知，曲线在点A（1，f（1）），B
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册导数的概念.导数的几何意义课件
