2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 正态分布 作业

学校： ___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ 一、选择题 1 ．已知随机变量 ，若 ，则 ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 2 ．已知随机变量 服从正态分布 , 且 , 则 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3 ．某班学生的一次的数学考试成绩 ( 满分 :100 分 ) 服从正态分布 : , 且 , , ( ) A.0.14 B.0.18 C.0.23 D.0.26 4 ．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据 （单位： ）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取 3 人，并记 不在 内的人数为 X ，则 ( ) A. B. C. D. 5 ．甲、乙两类水果的质量（单位： ）分别服从正态分布 ， ， 其正态密度曲线如图所示，则下列说法错误的是 ( ) A. 甲类水果的平均质量 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从正态分布的参数 6 ．已知函数 在 R 上单调递增的概率为 ，且随机变量 ， 则 ( ) 附：若 ，则 ， . A.0.1359 B.0.1587 C.0.2718 D.0.3413 7 ．某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是 ( ) A. 越小，该物理量一次测量结果落在 内的概率越大 B. 该物理量一次测量结果大于 10 的概率为 0.5 C. 该物理量一次测量结果大于 10.01 的概率与小于 9.99 的概率相等 D. 该物理量一次测量结果落在 内的概率与落在 内的概率相等 8 ．已知随机变量 X 服从两项分布 , 且 , 随机变量 Y 服从正态分布 , 若 , 则 ( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9 ．已知不 同型号的电子元件（分别记为 X ， Y ）的使用寿命均服从正态分布， ， ，正态密度曲线如图所示，则下列结论正确的是 ( ) 参考数据：若 ，则 ， . A. B. 对于任意的正数 t ，有 C. D. 10 ．某工厂加工一种零件，有两种不同的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间 t （单位： h ）均近似服从正态分布，用工艺 1 加工一个零件所用时间 ；用工艺 2 加工一个零件所用时间 ， X ， Y 的正态密度曲线如图所示，则下列结论正确的是 ( ) A. ， B. 若加工时间只有 a 小时，应选择工艺 2 C. 若加工时间只有 c 小时，应选择工艺 2 D. ， 三、填空题 11 ．已知随机变量 , 且 , 则 ________. 12 ．某产品的质量指标服从正态分布 . 质量指标介于 47 至 53 之间的产品为合格品 , 为使这种产品的合格率达到 99.74%, 则需调整生产技能 , 使得 至多为 ________. ( 参考数据 : 若 , 则 ) 13 ．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布 . 质量指标介于 99 至 101 之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到 ，则需调整生产工艺，使得 至多为 _ _________. （若 ，则 ） 四、解答题 14 ．某校高三年级有 1000 人，某次考试不同成绩段的人数 ，且所有得分都是整数 . （ 1 ）求全班平均成绩 ; （ 2 ）计算得分超过 141 的人数 ; （精确到整数） （ 3 ）甲同学每次考试进入年级前 100 名的概率是 ，若本学期有 4 次考试， X 表示进入前 100 名的次数，写出 X 的分布列，并求期望与方差 . 参考数据 : ， 15 ．某市为了了解全市 1 万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布 ，现从某校随机抽取了 50 名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率直方图 . （ 1 ）估算该校 50 名学生成绩的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ 2 ）求这 50 名学生成绩在 的人数； （ 3 ）现从该校 50 名考生成绩在 的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名（从高到低）在全市前 230 名的人数记为 X ，求 X 的概率分布和均值 . 参考数据： ，则 ， ， . 参考答案 1 ．答案： C 解析： 因为 ， ，所以 . 2 ．答案： B 解析 ：因为随机变量 服从正态分布 , 则 , 所以 , . 故选： B. 3 ．答案： C 解析 : 因为 , , 所以 , 又 , 所以 . 故选 :C. 4 ．答案： D 解析： 因为 ，所以 ，则 ，故 A 错误； 不在 内的概率为 ，则 ，则 ，故 B 错误； ，故 C 错误； ，故 D 正确 . 故选 D. 5 ．答案： D 解析： 由题图可知，甲类水果的平均质量 ，乙类水果的平均质量 ，故 A ， C 中的说法正确；由题图可知 B 中的说法正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数 满足 ， ，故 D 中的说法错误，故选 D. 6 ．答案： A 解析： 在 R 上单调递增的充要条件是 ，即 ，故 . 因为随机变量 ，所以 ，即 ，即 ， . 故 ， ，所以 . 故选 A. 7 ．答案： D 解析： 因为该物理量的测量结果服从正态分布 ，所以正态密度曲线关于直线 对称，且方差 越小，分布越集中 . 对于 A ， 越小，测量结果越集中在 10 左右，则该物理量一次测量结果落在 内的概率越大，故选项 A 中结论正确；对于 B ，测量结果大于 10 的概率为 0.5 ，故选项 B 中结论正确；对于 C ，由于正态密度曲线关于直线 对称，所以测量结果大于 10.01 的概率与小于 9.99 的概率相等，故选项 C 中结论正确；对于 D ，测量结果落在 内的概