第二章 平面向量及其应用§4 平面向量基本定理及坐标表示
课时3 向量平行的坐标表示
学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．（数学抽象） 2.会用坐标表示的平面向量共线的条件解决简单问题．（数学运算）
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1.向量 <m></m> 与非零向量 <m></m> 为共线向量的等价条件是有且只有一个实数 <m></m> 使得 <m></m> ，那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？ [答案] 假设 <m></m> , <m></m> ，则向量 <m></m> ， <m></m> 共线（其中 <m></m> ） <m></m> .
2.如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？[答案] 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向.例如，向量 <m></m> 与 <m></m> 反向；向量 <m></m> 与 <m></m> 同向；向量 <m></m> 与 <m></m> 同向；向量 <m></m> 与 <m></m> 反向等. 3. <m></m> ，其中 <m></m> ， <m></m> 是否正确？ [答案] 当 <m></m> 时不成立. 4.把 <m></m> 写成 <m></m> 或 <m></m> 可以吗？怎样记忆此公式的表达形式？ [答案] 写成 <m></m> 或 <m></m> 都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若向量 <m></m> ， <m></m> ，且 <m></m> ，则 <m></m> . ( ) ×（2）若向量 <m></m> ， <m></m> ，且 <m></m> ，则 <m></m> . ( ) ×（3）若向量 <m></m> ， <m></m> ，且 <m></m> ，则 <m></m> . ( ) √（4）向量 <m></m> 与向量 <m></m> 共线. ( ) √2.已知向量 <m></m> ， <m></m> ，若 <m></m> ，则实数 <m></m> 的值为( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D[解析] 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ，解得 <m></m> .
3.与 <m></m> 平行的单位向量为( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> 或 <m></m> D. <m></m> C[解析] 设与 <m></m> 平行的单位向量为 <m></m> ，则 <m></m> ∴ <m></m> 或 <m></m>
4.已知向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，若向量 <m></m> 与 <m></m> 共线，则 <m></m> _ ___. <m></m> [解析] 因为向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ，所以由 <m></m> 与 <m></m> 共线得 <m></m> ，解得 <m></m> .
探究1 平面向量共线的坐标表示 已知下列几组向量：（1） <m></m> ， <m></m> ； （2） <m></m> ， <m></m> ； （3） <m></m> ， <m></m> ； （4） <m></m> ， <m></m> ．
问题1：上面几组向量中， <m></m> ， <m></m> 有什么关系？ [答案] （1）（2）中 <m></m> ，（3）中 <m></m> ，（4）中 <m></m> ． 问题2：以上几组向量中， <m></m> ， <m></m> 共线吗？ [答案] 共线．问题3：当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 的坐标成比例吗？ [答案] 当 <m></m> ， <m></m> 的坐标不为0时成比例．
新知生成 平面向量共线的坐标表示 设 <m></m> ， <m></m> ,其中 <m></m> . （1） <m></m> , <m></m> 共线的充要条件是存在实数 <m></m> ,使得 <m></m> . （2）如果用坐标表示,那么向量 <m></m> , <m></m> 共线的充要条件是 <m></m> . 简记:纵横交错积相减.
新知运用一、向量共线的判定与证明例1 已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ,向量 <m></m> 与 <m></m> 平行吗？直线 <m></m> 平行于直线 <m></m> 吗？ 方法指导 判断向量 <m></m> 与 <m></m> 是否平行,只需判断它们的坐标是否满足 <m></m> .
[解析] 由题意可得 <m></m> , <m></m> . <m></m> , <m></m> .又 <m></m> , <m></m> ,且 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 三点不共线, <m></m> 与 <m></m> 不重合， <m></m> .
&1& 向量共线的判定方法
二、已知平面向量共线求参数例2 已知 <m></m> , <m></m> ,当 <m></m> 为何值时, <m></m> 与 <m></m> 平行？平行时它们是同向还是反向？ 方法指导 （1）可利用 <m></m> 与非零向量 <m></m> 共线等价于 <m></m> （ <m></m> , <m></m> 与 <m></m> 同向; <m></m> , <m></m> 与 <m></m> 反向）求解;（2）可先利用坐标形式的等价条件求 <m></m> ,再利用 <m></m> 判定同向还是反向.
[解析] （法一：共线向量定理法） <m></m> , <m></m> ,当 <m></m> 与 <m></m> 平行时,存在唯一实数 <m></m> ,使得 <m></m> .由 <m></m> ,得 <m></m> 解得 <m></m> 因为 <m></m> ,所以 <m></m> 与 <m></m> 反向.
（法二:坐标法）由题意知 <m></m> , <m></m> .因为 <m></m> 与 <m></m> 平行,所以 <m></m> ,解得 <m></m> .此时 <m></m> ,所以当 <m></m> 时, <m></m> 与 <m></m> 平行且反向. &2& 用向量平行的条件处理求值问题的思路:（1）利用共线向量定理 <m></m> 列方程组求解.（2）利用向量平行的坐标表达式 <m></m> 直接求解.
三、利用共线向量求点的坐标例3 已知点 <m></m> ， <m></m> ,点 <m></m> 在直线 <m></m> 上,且 <m></m> ,求
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 向量平行的坐标表示 课件
