2023-2024学年人教A版必修第一册 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 作业

课时作业 ( 八 ) 　全称量词命题和存在量词命题的否定 练基础 1. 设命题 p ：所有正方形都是平行四边形，则 p 的否定为 ( 　 　 ) A ．所有正方形都不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是正方形 C ．有的正方形不是平行四边形 D ．不是正方形的四边形不是平行四边形 2 ． [2022· 福建福州高一期中 ] 命题 p ： ∃ x 0 ∈ R ， x ＋ x 0 ＋ 1<0 的否定是 ( 　　 ) A ． ∃ x 0 ∈ R ， x ＋ x 0 ＋ 1 ≥ 0 B ． ∃ x 0 ∈ R ， x ＋ x 0 ＋ 1 ＝ 0 C ． ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ x ＋ 1 ≥ 0 D ． ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ x ＋ 1<0 3 ．命题 “ ∀ x >0 ， x 2 ＋ x >1 ” 的否定是 ( 　　 ) A ． “ ∃ x 0 >0 ， x ＋ x 0 ≤ 1 ” B ． “ ∀ x ≤ 0 ， x 2 ＋ x >1 ” C ． “ ∃ x 0 >0 ， x ＋ x 0 <1 ” D ． “ ∀ x ≤ 0 ， x 2 ＋ x ≤ 1 ” 4 ．下列关于命题 “ 若 x >1 ，则 2 x ＋ 1>5 ” ( 假命题 ) 的否定，正确的是 ( 　　 ) A ．若 x >1 ，则 2 x ＋ 1 ≤ 5 B ．存在一个实数 x ，满足 x >1 ，但 2 x ＋ 1 ≤ 5 C ．任意实数 x ，满足 x >1 ，但 2 x ＋ 1 ≤ 5 D ．若存在一个实数 x ，满足 x ≤ 1 ，则 2 x ＋ 1 ≤ 5 5 ． ( 多选 ) 关于命题 p ： “ ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ 1 ≠ 0 ” 的叙述，正确的是 ( 　　 ) A ． ¬ p ： ∃ x ∈ R ， x 2 ＋ 1 ＝ 0 B ． ¬ p ： ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ 1 ＝ 0 C ． p 是真命题， ¬ p 是假命题 D ． p 是假命题， ¬ p 是真命题 6 ．命题 “ 任意两个等边三角形都相似 ” 的否定为 ________ ． 7 ．命题 “ ∃ x ∈ R ， x 2 － x ＋ 1>0 ” 的否定是 ________ ． 8 ．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1) p ： ∀ x ∈ R ， x 2 － x ＋ ≥ 0 ； (2) q ：所有的正方形都是矩形； (3) r ： ∃ x ∈ R ， x 2 ＋ 2 x ＋ 2 ≤ 0. 提能力 9.( 多选 ) 设非空集合 P ， Q 满足 P ∩ Q ＝ Q ，且 P ≠ Q ，则下列选项中错误的是 ( 　　 ) A ． ∀ x ∈ Q ，有 x ∈ P B ． ∃ x ∈ P ， 使得 x ∉ Q C ． ∃ x ∈ Q ， 使得 x ∉ P D ． ∀ x ∉ Q ， 有 x ∉ P 10 ．已知 a >0 ，函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ，若 m 满足关于 x 的方程 2 ax ＋ b ＝ 0 ，当 x ＝ m 时的函数值记为 M ，则下列选项中的命题为假命题的是 ( 　　 ) A ． ∃ x ∈ R ， ax 2 ＋ bx ＋ c ≤ M B ． ∃ x ∈ R ， ax 2 ＋ bx ＋ c ≥ M C ． ∀ x ∈ R ， ax 2 ＋ bx ＋ c ≤ M D ． ∀ x ∈ R ， ax 2 ＋ bx ＋ c ≥ M 11 ．命题 “ 对于任意三个正数 a ， b ， c ，三个数 a ＋ ， b ＋ ， c ＋ 中至少有一个不小于 2 ” 的否定是 ________. 12 ．命题 p 是 “ 对某些实数 x ，有 x － a >0 或 x － b ≤ 0 ” ，其中 a 、 b 是常数． (1) 写出命题 p 的否定； (2) 当 a 、 b 满足什么条件时，命题 p 的否定 为真？ 培优生 13. 已知集合 A ＝ { x |0 ≤ x ≤ a } ，集合 B ＝ { x | m 2 ＋ 3 ≤ x ≤ m 2 ＋ 4} ，如果命题 “ ∃ m ∈ R ，使得 A ∩ B ≠ ∅ ” 为假命题，则实数 a 的取值范围为 ________ ． 课时作业 ( 八 ) 　全称量词命题和存在量词命题的否定 1 ． 解析： p 的否定为 “ 有的正方形不是平行四边形 ” ． 答案： C 2 ． 解析： 命题 p ： ∃ x 0 ∈ R ， x ＋ x 0 ＋ 1<0 的否定是： ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ x ＋ 1 ≥ 0. 答案： C 3 ． 解析： 命题 “ ∀ x >0 ， x 2 ＋ x >1 ” 的否定是 “ ∃ x 0 >0 ， x ＋ x 0 ≤ 1 ” ． 答案： A 4 ． 解析： 命题 “ 若 x >1 ，则 2 x ＋ 1>5 ” ( 假命题 ) 是一个全称量词命题，因此其否定为 “ 存在一个实数 x ，满足 x >1 ，但 2 x ＋ 1 ≤ 5 ” ． 答案： B 5 ． 解析： 命题 p ： “ ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ 1 ≠ 0 ” 的否定是 “ ∃ x ∈ R ， x 2 ＋ 1 ＝ 0 ” ． 所以 p 是真命题 ， ¬ p 是假命题． 答案： AC 6 ． 解析： 根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得：命题 “ 任意两个等边三角形都相似 ” 的否定为 “ 存在两个等边三角形，它们不相似 ” ． 答案： 存在两个等边三角形，它们不相似 7 ． 解析： 由存在量词命题的否定为全称量词命题， ∴ 原命题的否定为： “ ∀ x ∈ R ， x 2 － x ＋ 1 ≤ 0 ” ． 答案： ∀ x ∈ R ， x 2 － x ＋ 1 ≤ 0 8 ． 解析： (1)¬ p ： ∃ x ∈ R ， x 2 － x ＋ <0 ，假命题． ∵ ∀ x ∈ R ， x 2 － x ＋ ＝ ( x － ) 2 ≥ 0 ， ∴ ¬ p 是假命题． (2)¬ q ：有的正方形不是矩形，假命题． (3)¬ r ： ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ 2 x ＋ 2>0 ，真命题． ∵ ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ 2 x ＋ 2 ＝ ( x ＋ 1) 2 ＋ 1 ≥ 1>0 ， ∴ ¬ r 是真命题． 9 ． 解析： 因为 P ∩ Q ＝ Q ，且 P ≠ Q ，所以 Q 是 P 的真子集， 所以 ∀ x ∈ Q ， 有 x ∈ P ， ∃ x ∈ P 使得 x ∉ Q ， CD 错误． 答案： CD 10 ． 解析： 方程 2 ax ＋ b ＝ 0 的解为 m ＝－ . 由当 x ＝ m 时的函数记为 M 知 A 、 B 为真命题； ∵ a >0 ， ∴ 函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 在 x ＝－ ＝ m 处取得最小值． ∴ M 是函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的最小值，因此 D 为真命题， C 为假命题． 答案： C 11 ． 答案： 存在三个正数 a ， b ， c ，三个数 a ＋ ， b ＋ ， c ＋ 全小于 2 1