第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式7.1.2 全概率公式
学习目标素养要求1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率数学运算2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)数学抽象
自学导引
互斥全概率公式
【答案】(1)√ (2)×
贝叶斯公式*
【预习自测】全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？提示：两者的最大不同在处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的．
课堂互动
甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．题型1 全概率公式
解：设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3.显然A1，A2，A3为完备事件组，且P(A1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，P(A2)＝0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.3＝0.41，P(A3)＝0.4×0.5×0.7＋0.14.由题意，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，利用全概率公式，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.故飞机被击落的概率为0.458.
全概率公式求概率的关注点全概率公式的实质是为了计算复杂事件的概率，把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果．
1．某电子设备制备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．
解：设事件Bi表示“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”(i＝1，2，3)，事件A表示“取到的是一件次品”．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03＝0.012 5，所以在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5.
设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．题型2 贝叶斯公式
贝叶斯公式的应用把事件B看作某一过程的结果，把Ai(i＝1，2，…，n)看作该过程的若干个原因，每一原因发生的概率P(Ai)已知，且每一原因对结果的影响程度P(B|Ai)已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式，即求P(Ai|B).贝叶斯公式反映了事件Ai发生的可能性在各种原因中的比重．
2．设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核概率为0.001.从这个城市的居民中随机选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人患有肺结核的概率．
题型3 全概率公式与贝叶斯公式的应用(1)求这位教授迟到的概率；(2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是动车的概率．解：(1)设A＝“这位教授迟到”，B1＝“这位教授乘坐的是飞机”，B2＝“这位教授乘坐的是动车”，B3＝“这位教授乘坐的是非机动车”，
P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识．当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计．贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．
3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，现将这些产品混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
易错警示 题意理解不清致误
易错防范：题意理解不清，因为先胜两盘的队获胜，比赛结束，高三(1)班代表队连胜两盘是指：高三(1)班代表队第一、第二盘胜和第一盘输，第二、第三盘胜．
素养达成
1．全概率公式用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．2．概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样的作用．
1．(题型1)已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为 ( )A．0.012 45 B．0.057 86C．0.026 25 D．0.028 65【答案】C
【答案】C
3．(题型2)李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果
2023-2024学年人教A版高中数学选择性必修第三册 第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式 课件
