课标要求1.理解导数与函数单调性的关系.2.会利用导数判断或证明函数单调性.3.会利用导数求函数单调区间.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.5.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法.
基础落实•必备知识全过关
函数的两个单调区间之间不能用“∪”知识点1 导数的符号与函数的单调性之间的关系1.若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数y=f(x) ; 2.若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间内,函数y=f(x) . 单调递增单调递减
名师点睛1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件.2.若在某个区间内,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.( )(2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.( )(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )2.在区间(a,b)内,函数f(x)单调递增是f'(x)>0的什么条件?××√ 提示 必要不充分条件.
知识点2 函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:导数的绝对值函数值变化函数的图象较大 比较“ ” (向上或向下)较小 比较“ ” (向上或向下)较快陡峭较慢 平缓
名师点睛1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通常对应只看正(负)变化.2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关系.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.( )(2)函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.( )2.如何借助导函数y=f'(x)的图象确定函数y=f(x)的单调区间?√ √ 提示 在y=f'(x)的图象上找出使f'(x)>0的x的取值范围,则f(x)在该取值范围单调递增;在y=f'(x)的图象上找出使f'(x)<0的x的取值范围,则f(x)在该取值范围单调递减.
知识点3 已知函数单调性求参数的取值范围1.解题步骤:函数在区间[a,b]上单调递增(减)→ f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立→利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证2.注意事项:一般地,要检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.3.解决该类问题常用的有关结论:m≥f(x)恒成立⇔ ; m≤f(x)恒成立⇔ . m≥f(x)max m≤f(x)min
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知函数单调性求参数的取值范围,一般转化为不等式恒成立问题,多用分离参数的方法.( )(2)对于∀x∈D,a≥f(x)恒成立可以先求出函数y=f(x)(x∈D)的最大值ymax,然后a的取值范围即为a≥ymax.( )√ √ 2.若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)满足什么条件?答案 f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
重难探究•能力素养全提升
探究点一判断函数的单调性角度1单调性的证明
规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)若f'(x)>(或<)0,则f(x)单调递增(或递减).但要特别注意,若f(x)单调递增(或递减),则f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
变式训练1证明:函数 在区间(0,e)内单调递增.
角度2不含参数的函数求单调区间【例2】 求f(x)=3x2-2ln x的单调区间.
规律方法 求不含参数的函数y=f(x)的单调区间的步骤
变式训练2函数f(x)=(x2+2x)ex(x∈R)的单调递减区间为 .
角度3含参数的函数求单调区间【例3】 讨论函数f(x)= ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性.解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
规律方法 (1)讨论参数要全面,做到不重不漏.(2)解不等式时若涉及分式不等式,要注意结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解.
变式训练3设函数f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.解 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.∵当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.当a>0时,f'(x)=ex-a,令f'(x)=0,解得x=ln a,∴当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.∴f(x)在(-∞,ln a)内单调递减,在(ln a,+∞)内单调递增.综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册函数的单调性课件
