2022届湖南省常德市高三模拟考试数学试题（标准答案版）

科目：数学 ( 试题卷 ) 注意事项： 1 ．答题前 , 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不留痕迹；回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3 ． 本试卷共 4 页． 如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4 ．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回． 姓 名 准考证号 祝 你 考 试 顺 利 ！ 2022 年常德市高三年级模拟考试 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，若 ，则 A ． B ． C ． D ． 2. 若复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内 对应的点 位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3 . 设 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 A ． B ． C ． D ． 4. 已知直线 ， ，则“ ”是“ ”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 5 . 函数 的图象大致是 x O y x O y x O y x O y 6 . 已知 双曲线 的焦点 到 渐近线的 距离等于 双曲线 的实轴长 ，则双曲线 的离心率为 A ． B ． C ． D ． 7 . 已知 ， ，则 A ． B ． C ． D ． 8. 将甲、乙、丙、丁 4 名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派 1 名医生， A 表示事件“医生甲派往①村庄”； B 表示事件“医生乙派往①村庄”； C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则 A ． 事件 A 与 B 相互独立 B ． 事件 A 与 C 相互独立 C ． D ． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知函数 ，则 A ．函数 的周期为 B ．函数 的图象关于原点对称 C ． 的最大值为 2 D ．函数 在区间 上单调递增 10. 下列不等式一定成立的是 A ． B ． C ． D ． 11. 已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为 2 ，则 A ．焦点 的坐标为 B ．过点 恰有 2 条直线与抛物线 有且只有一个公共点 C ．直线 与抛物线 相交所得弦长为 8 D ．抛物线 与圆 交于 两点，则 12. 如图所示，三棱锥 中， , ， 为线段 上的动点 ( 不与 重合 ) ，且 , 则 A ． B ． C ． 存在点 ，使得 D ． 三棱锥 的体积有最大值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知平面向量 ， ， ，则 _________. 14. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，其长度误差落在区间 内的概率为 _________. （附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ） 15. 已知 是球 的球面上的四点， 为球 的直径，球 的表面积为 ， 且 ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值是 _________. 16. 设函数 的两个极值点为 ，若 ，则实数 的取值范围是 _________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ． ( 本小题满分 10 分 ) 如图， 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ． (Ⅰ) 求角 的 大小； (Ⅱ) 已知 ，若 为 外接圆劣弧 上一点， 求 的最大值 ． 18 ． ( 本小题满分 12 分 ) 设各项非负的数列 的前 项和为 ，已知 ，且 成 等比数列． (Ⅰ) 求 的通项公式； (Ⅱ) 若 ， 求 数列 的前 n 项和 . 19 ． ( 本小题满分 12 分 ) 为了 研究注射 某种抗病毒疫苗 后是否产生抗体与 某项指标值 的相关性 ，研究人员 从某地区 10 万人中 随机抽取 了 200 人，对 其注射疫苗后的 该项指标值进行测量，按 ， ， ， ， 分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示 . 同时 发现 这 200 人 中有 120 人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于 60 的有 80 人 . (Ⅰ) 填写下面的 列联表，判断 是 否有 95% 的把握认为 “注射疫苗后产生抗体与指标值不小于 60 有关” . 指标值小于 60 指标值不小于 60 合计 有抗体 没有抗体 合计 (Ⅱ) 以 注射疫苗后 产生抗体的 频率 作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从 该地区 注射疫苗的人 群中随机抽取 4 人，求产生抗体的人数 的分布列及期望 . 附： ，其中 n ＝ a ＋ b ＋ c ＋ d . P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2