浙江省湖州市湖州中学2023-2024学年高二上学期第二次单元测试数学试题 （原卷全解析版）

湖州中学 2023 学年第一学期高二第二次单元测试数学试题 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知平面 的一个法向量为 ，且 ，则点 A 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 1 4. 若实数 满足 ，则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线 的焦点为 直线 与抛物线 交于 两点，若 中点的纵坐标为 5 ，则 （ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 16 6. 已知 、 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 7. 已知 x ， y 为正实数，则 的最小值为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 过 与椭圆交于 两点，若 ，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知函数 在 上值域是 ，则 的取值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知 是左、右焦点分别为 的双曲线 上一点，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的离心率是 C. 的渐近线与双曲线 的渐近线相同 D. 的面积是 11. 设等差数列 的公差为 ，前 项和 . 若 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. 数列 是递增数列 B. C. D. 中最大的是 12. 已知矩形 中， ， ，现沿 将此矩形折成 的二面角，则折后下列结论正确的是（ ） A. 四面体 的外接球半径为 B. 四面体 的体积是 C. D. 异面直线 、 所成角 余弦值是 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 动直线 过定点 ，则 的坐标为 _______ . 14. 在等比数列 中，若 ，则 _______ . 15. 在边长为 的正方形 中， 是 中点，则 _______ ；若点 在线段 上运动，则 的最小值是 _______ . 16. 已知圆 ，圆 . 若圆 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点为 ，使得 ，则实数 的取值范围为 ________ . 四、解答题：本大题共 6 题，共 70 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知 是等差数列， 是等比数列，且 . （ 1 ） 求 ， 通项公式； （ 2 ） 若数列 满足 ，求 的前 项和 . 18. 已知斜 内角 的对边分别为 ，函数 ，且 . （ 1 ） 求 的值； （ 2 ） 若 边上的中线 长为 ，求 的最大值 . 19. 如图，在三棱柱 中， 分别是 上 点，且 . 设 . （ 1 ） 试用 表示向量 ； （ 2 ） 若 ，求 长 . 20. 设 A ， B 为曲线 C ： y ＝ 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4 ． （ 1 ）求直线 AB 的斜率； （ 2 ）设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥ BM ，求直线 AB 的方程． 21. 如图，在四棱锥 中， ，且 ， ， ， ， ， 为 的中点 . （ 1 ） 求证： 平面 ； （ 2 ） 在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 22. 在平面直角坐标系内，已知 两点关于原点对称，且 的坐标为 . 曲线 上的动点 满足当直线 的斜率 都存在时， . （ 1 ） 求曲线 的方程； （ 2 ） 已知直线 过点 且与曲线 交于 两点，问是否存在定点 ，使得直线 关于 轴对称？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由 . 湖州中学 2023 学年第一学期高二第二次单元测试数学试题 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解． 【详解】 设直线的倾斜角为 ， ， 直线 可化为 ， 所以直线的斜率 ， ， 故选： D ． 2. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】 D 【解析】 【分析】 由 ， 求出数列 首项和公差，进而由数列 的通项公式求解． 【详解】 设等差数列 的公差为 ， 因为 ， ， 所以 解得 所以 ． 故选：D 3. 已知平面 的一个法向量为 ，且 ，则点 A 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】 B 【解析】 【分析】 直接由点面距离的向量公式就可求出． 详解】 ∵ ， ∴ ，又平面 的一个法向量为 ， ∴点 A 到平面 的距离为 故选： B 4. 若实数 满足 ，则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据题意，由两点间距离公式，结合圆的方程，代入计算，即可得到结果 . 【详解】 因为 表示圆心为 ，半径为 的圆， 则 表示圆上的点到点 的距离的平方， 所以 最大值为 . 故选： D 5. 已知抛物线 的焦点为 直线 与抛物线 交于 两点，若 中点的纵坐标为 5 ，则 （