2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册 1.2数列的函数特性 课件

第一章　数　列 §1　数列的概念及其函数特性1.2　数列的函数特性 1．了解数列的几种简单表示方法．2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．3．掌握判断数列的增减性的方法．1．通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养． 数列与函数的关系 知识点 1数列可以看作是定义域为____________(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量___________依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．[提醒]　数列是一种特殊的函数，特殊在它的定义域是离散型的，所以图象是一些分散的点．并且数列有序，函数值域是集合，具有无序性．正整数集N＋从小到大 提示：数列{an}的图象是一群孤立的点，而函数f(x)的图象是一条光滑的曲线，表示数列图象的点分布在函数图象上． 练一练：在数列{an}中，an＝n2－9n(n∈N＋)，则此数列最小项的值是_________.∵n∈N＋，∴当n＝4或n＝5时，an取最小值－20.－20 数列的三种表示法 知识点 2(1)列表法．(2)图象法．(3)_____________.练一练：对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n∈N＋，依照下表，则a2 023＝_____.x12345f(x)54312[解析]　a1＝4,a2＝f(4)＝1,a3＝f(1)＝5,a4＝f(5)＝2,a5＝f(2)＝4,…,该数列是周期为4的周期数列，所以a2 023＝a3＝5.通项公式法5 递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 知识点 3名称定义表达式图象特点递增数列从第2项起，每一项都_______它的前一项an＋1>an(n∈N＋)_______递减数列从第2项起，每一项都_______它的前一项an＋1<an(n∈N＋)_______常数列各项都_______an＋1＝an(n∈N＋)不升不降摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项an与an＋1(n∈N＋)大小不确定上下摆动大于上升小于下降相等 练一练：A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列B 题|型|探|究　　　　　在数列{an}中，an＝n2－8n.(1)画出数列{an}的图象；(2)根据图象判定数列{an}的增减性．[解析]　(1)列表题型一数列的表示方法典例 1n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709… 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图象如图所示．(2)数列{an}的图象既不是上升的，也不是下降的，则数列{an}既不是单调递增的，也不是单调递减的． [规律方法]　画数列的图象的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 　　　　　　　　若数列{an}的通项公式为an＝－n2＋7n(n∈N＋)，求an的最大值，并与函数f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较．对点训练❶[解析]　作出函数f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象与数列{an}的图象．从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象上，由数列{an}的图象，得an的最大值为a3＝a4＝12，因此，an的最大值小于f(x)的最大值. 题型二根据数列的单调性求参数的取值范围典例 2D [解析]　因为数列{an}是递增数列，所以由n≤7时，an＝(3－a)n－3知3－a>0，即a<3；由n>7时，an＝an－6知a>1.又a7<a8，即(3－a)×7－3<a8－6，解得a>2或a<－9.综上，得2<a<3，故实数a的取值范围为(2,3)，故选D. [规律方法]　利用数列的单调性确定变量的取值范围，解决此类问题常用以下等价关系数列{an}递增⇔an＋1>an(n∈N＋)，数列{an}递减⇔an＋1<an(n∈N＋)，进而转化为不等式恒成立问题，通过分离变量转化为求代数式的最值问题来解决，或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围．另外，在解决问题时，勿忘n∈N＋这个条件，即n∈Z且n≥1. 　　　　　　　通项公式为an＝λn2＋n的数列{an}，若满足a1<a2<a3　<a4<a5，且an>an＋1对n≥8恒成立，则实数λ的取值范围是(　　)对点训练❷A 题型三求数列的最大项与最小项典例 3 [解析]　数列{an}有最大项．当n<5(n∈N＋)时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>5(n∈N＋)时，an＋1－an<0，即an＋1<an.故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， [规律方法]　求数列中的最大(最小)项问题的两种方法(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． 　　　　　　　　已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是(　　)A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项对点训练❸A 易|错|警|示用函数思想解题时忽略数列的特征而致错典例4　　　　　已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是_________________.[错解]　[－2，＋∞)(－3，＋∞)