知识探究·素养培育探究点一 离散型随机变量的均值[问题1] (1)某商场要将单价分别为18元/ kg,24元/ kg,36 元/ kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如何对混合糖果定价才合理?(2)某商场经理打算在国庆节那天在商场外举行促销活动,如果不遇到雨天可获得经济效益10万元,如果遇到雨天则要损失4万元,据9月30日气象台预报国庆节那天有雨的概率是40%,则此商场平均可获得经济效益多少元?(2)商场平均可获得经济效益为10×0.6-4×0.4=4.4(万元).
知识点1:设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn则称EX= 为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).[思考1] 均值EX刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平,是随机变量X的一个重要特征.随机变量的分布列与均值之间的关系是怎样的?提示:随机变量的分布列完全确定了它的均值,两个不同的分布列可以有相同的均值,这表明均值只是刻画随机变量取值的平均水平这个重要特征,并不能完全决定随机变量的性质.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
[例1] (1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分,已知他命中的概率为0.7,求他罚球一次得分X的均值EX;解:(1)因为P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以EX=1×0.7+0×0.3=0.7.
(2)袋中有4个黑球、3个白球、2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球记0分,每取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用ξ表示得分,求ξ的均值.
方法总结求离散型随机变量的均值的4个步骤(1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)由均值定义求出EX.
变式训练1-1:已知某一随机变量X的分布列如下,则EX= . 解析:由随机变量X的分布列,知0.1+0.3+a=1,解得a=0.6,EX=1×0.1+5×0.3+9×0.6=7.X159P0.10.3a答案:7
变式训练1-2:从某班6名学生(其中男生4人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动,设所选三人中男生人数为X,求EX.
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望.
探究点二 离散型随机变量均值的应用[问题2] 在17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,给他出了一道题目:甲、乙两个人赌博,他们两人获胜的概率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平?
知识点2:在概率论和统计学中,离散型随机变量的均值(或数学期望,亦简称期望)是随机变量的每一个取值与其相应的概率乘积的和,是离散型随机变量的最基本的数字特征之一.它反映随机变量 的大小.需要注意的是,期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等.期望值是该变量输出值的平均数,期望值并不一定包含于变量的输出值集合里,但是我们可以利用均值进行预测和决策.平均取值
[例2] 某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个,每个生日蛋糕成本为60元,售价为100元.如果卖不完,则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁.现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位:个)如表:需求量151617181920频数10203020128将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
(1)若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个,设当天生日蛋糕的需求量为X(单位:个),当天出售生日蛋糕获得的利润为Y(单位:元).①试写出Y关于X的表达式;②求Y的分布列,并计算P(Y≥600);②由已知P(X=15)=0.1,P(X=16)=0.2,P(X≥17)=0.7,所以由①可知Y的分布列为Y480580680P0.10.20.7故P(Y≥600)=0.7.
(2)以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据,你认为该烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个?解:(2)由(1)②知,当每天制作17个生日蛋糕时,对应利润的平均值EY=480×0.1+580×0.2+680×0.7=640,与(1)类似地,可以得到当每天制作18个生日蛋糕时,其对应利润Z的分布列为Z420520620720P0.10.20.30.4故EZ=420×0.1+520×0.2+620×0.3+720×0.4=620.由于EY>EZ,故每天应该制作17个生日蛋糕.
方法总结用均值处理决策问题的一般步骤(1)用不同的字母表示问题中的相关的随机变量;(2)分别求出它们的分布列和均值;(3)根据均值差异选取符合条件的方案.
变式训练2-1:在有奖摸彩中,一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是25元的,5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元?
均值在分组检测中的应用拓展探究素养培优[典例] (2020·江西瑞金月考)某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查,先到社区医务室进行口拭子核酸检测,检测结果呈阳性者,再到医院做进一步检查,已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%,且每个人的口拭子核酸检测结果是否呈阳性相互独立.(1)假设该疾病患病的概率是0.3%,且患病者口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为98%,设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测结果呈阳性,求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率;
(2)根据经验,口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量,具
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册离散型随机变量的均值课件
