第一章 数 列
§2 等差数列2.1 等差数列的概念及其通项公式第2课时 等差数列的性质及应用
1．了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差d的几何意义．2．掌握等差数列的性质及应用．3．掌握等差中项的概念及应用．1．通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养．2．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养．
等差数列的单调性与图象 知识点 1(1)等差数列的图象由an＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_____________，其中_________是该直线的斜率. (2)从函数角度研究等差数列的性质与图象由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_____________，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_______，即自变量每增加1，函数值增加d.当d>0时，{an}为___________；当d<0时，{an}为___________；当d＝0时，{an}为_________.等间隔的点公差d等间隔的点斜率递增数列递减数列常数列
[提醒] 等差数列通项公式的变形及推广①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
想一想：已知等差数列{an}的两项am，an，如何用am，an表示公差d？并解释公差d的几何意义．
练一练：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(2)若{an}是等差数列，则an＝am＋(n－m)d.( )(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )2．在等差数列{an}中，a3＝5，a7＝1，则数列{an}的公差d＝_____. √√√－1
等差数列的性质 知识点 2(1)等差中项如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成___________，那么A叫作a与b的等差中项，A＝______.(2)如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at.[提醒] 在一个等差数列中，从第2项起，每一项an(有穷数列的末项除外)都是它的前一项an－1与后一项an＋1的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)．等差数列
练一练：1．若等差数列{an}的公差为d，则{3an＋2}是( )A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列[解析] 设bn＝3an＋2，则bn＋1－bn＝3an＋1＋2－3an－2＝3(an＋1－an)＝3d.C
2．在等差数列{an}中，若a3＝2，a5＝7，则a7＝_______. [解析] 由等差数列的性质得a7＋a3＝2a5，则a7＋2＝2×7，得a7＝12.12
题|型|探|究 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解析] 方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，题型一等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用典例 1
方法二：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，
等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.[解析] 方法一：设等差数列{an}的公差为d，对点训练❶7
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
(1)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝( )A．9 B．12 C．15 D．18(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_______；(3)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝( )A．150 B．160 C．200 D．300题型二用性质am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题典例 2AD35
[分析] (1)根据等差数列的性质得出2a9＝a5＋a13，然后将值代入即可求出结果．(2)方法一：求a5＋b5⇒各设出公差⇒利用通项公式；方法二：求a5＋b5⇒{an}，{bn}都是等差数列⇒{an＋bn}也构成等差数列．(3)求a2＋a8的值⇒a3＋a7＝a4＋a6＝2a5⇒a5⇒a2＋a8＝2a5.
[解析] (1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴5a5＝750，∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
[规律方法] 等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．
(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为( )A．30 B．27 C．24 D．21(2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册 2.1等差数列的概念及其通项公式第2课时等差数列的性质及应用 课件
