第三章3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
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课程标准1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式,能运用公式解决问题.
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知识点1 空间向量运算的坐标表示 向量的坐标运算是形与数的转化1.标准正交基在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基.根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作p=(x,y,z). 中间的“=”不能省略,即不能写成p(x,y,z)单位向量i,j,k都叫作坐标向量.
2.若点A的坐标为(x1,y1,z1),点B的坐标为(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).也就是说:一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
3.空间向量运算的坐标表示设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量的运算法则,不难得到:(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);(3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 两个空间向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和
过关自诊1.[人教A版教材习题]已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),求:(1)a+b;(2)6a;(3)3a-b;(4)a·b.提示 (1)a+b=(-2,7,4).(2)6a=(-18,12,30).(3)3a-b=(-10,1,16).(4)a·b=2.
2.[人教A版教材习题]已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求:(1)a·(b+c);(2)a+6b-8c.提示 (1)∵b=(2,0,3),c=(0,0,2),∴b+c=(2,0,5).又a=(2,-3,1),∴a·(b+c)=2×2+0×(-3)+5×1=4+0+5=9.(2)a+6b-8c=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,-3,3).
3.[人教A版教材习题]已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且a⊥b.求x的值.
知识点2 空间向量平行(共线)和垂直的条件我们知道,当b≠0时,a∥b⇔∃λ∈R,使得a=λb.共线向量基本定理 使用此式时注意分母不能为0类似地,可得a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.
过关自诊1.(多选题)已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是( )A.(1,1,1) B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5) D.(-2,3,-1)BD
2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,1,0)且b⊥(ka+b),则k=( ) D解析 ∵向量a=(1,2,1),b=(1,1,0),∴ka+b=(k+1,2k+1,k).∵b⊥(ka+b),∴b·(ka+b)=k+1+2k+1=0,解得k=- .
知识点3 空间向量长度与夹角的坐标表示设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量运算的坐标表示,可以得到以下结论:
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则|a|=|b|.( )(2)设a=(1,-1,1),b=(-2,0,1),则cos<a,b>= .( )√ √
2.你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗?提示 如图,建立空间直角坐标系O-xyz,
3.[人教A版教材习题]求证:以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.
4.[人教A版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A和B1B的中点,求CM和D1N所成角的余弦值.
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探究点一 空间向量的坐标表示
规律方法 用坐标表示空间向量的步骤如下:
变式训练1(1)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取点D为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标.(-2,0,1)(1,1,2)
(2)如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,建立空间直角坐标系,求向量 的坐标.
解 以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示,
探究点二 空间向量的坐标运算【例2】 已知在空间直角坐标系中,点A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
规律方法 空间向量的坐标运算注意以下几点:(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去起点坐标.(2)空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.
探究点三 空间向量的平行与垂直【例3】 已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分别求λ与m的值;(2)若|a|= ,且与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.
规律方法 向量平行与垂直问题的主要题型(1)平行与垂直的判断;(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b(b≠0)平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
变式训练3已知△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高BD的长为( )A
【例4】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且
变式探究1若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 3.2空间向量运算的坐标表示及应用 课件
