2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.3.1 抛物线及其标准方程 学案

3 ． 3 　抛物线 3 ． 3.1 　抛物线及其标准方程 课程标准 1 ．了解抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2 ．掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 学法解读 1 ．结合教材实例掌握抛物线的定义． ( 数学抽象 ) 2 ．掌握抛物线标准方程中参数 p 的几何意义，会求抛物线的标准方程． ( 数学运算 ) 3 ．通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力． ( 数学运算 ) 知识点 1 　抛物线的定义 1 ．定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l ( 不经过点 F ) 的 _ 距离相等 __ 的点的轨迹． 2 ．焦点：定点 F . 3 ．准线：定直线 l . 思考 1 ：抛物线的定义中，为什么要加条件 l 不经过点 F? 提示：若点 F 在直线 l 上，点的轨迹是过点 F 且垂直于直线 l 的直线． 做一做： 1. 若动点 P 到点 (3,0) 的距离和它到直线 x ＝－ 3 的距离相等，则动点 P 的轨迹是 ( B ) A ．椭圆 B ．抛物线 C ．直线　 D ．双曲线 [ 解析 ] 　由抛物线定义知，动点 P 的轨迹是抛物线，故选 B. 2 ．平面内到点 A (2,3) 和直线 l ： x ＋ 2 y － 8 ＝ 0 距离相等的点的轨迹是 ( A ) A ．直线　 B ．抛物线 C ．椭圆　 D ．圆 [ 解析 ] 　由题意知，直线 l 经过点 A ，则点的轨迹是过点 A 且垂直于直线 l 的一条直线，故选 A. 知识点 2 　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _ y 2 ＝ 2 px ( p >0) __ 　 x ＝－ 　 _ y 2 ＝－ 2 px ( p >0) __ 　 x ＝ 　 _ x 2 ＝ 2 py ( p >0) __ 　 y ＝－ 　 _ x 2 ＝－ 2 py ( p >0) __ 　 y ＝ 　 思考 2 ：抛物线的标准方程中 p ( p >0) 的几何意义是什么？ 提示： p 的几何意义是焦点到准线的距离． 做一做：判断正误 ( 正确的打 “√” ，错误的打 “×” ) (1) 抛物线 y 2 ＝－ 2 px ( p >0) 中 p 是焦点到准线的距离． ( √ ) (2) 方程 x 2 ＝ 2 ay ( a ≠ 0) 表示开口向上的抛物线． ( × ) (3) 抛物线 y 2 ＝ x 的准线方程为 x ＝ .( × ) 题型探究 题型一　根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程 典例 1 求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y 2 ＝－ 12 x ； (2)3 x 2 － 4 y ＝ 0 ； (3) x ＝ 32 y 2 ； (4) y 2 ＝ ax ( a ≠ 0) ． [ 分析 ] 　先将所给方程转化为标准方程的形式，确定其开口方向，求出 p 的值，再写出焦点坐标和准线方程． [ 解析 ] 　 (1) 由方程 y 2 ＝－ 12 x 知，抛物线开口向左，焦点在 x 轴的负半轴上， 2 p ＝ 12 ，所以 p ＝ 6 ， ＝ 3 ，因此焦点坐标为 ( － 3,0) ，准线方程为 x ＝ 3. (2) 方程 3 x 2 － 4 y ＝ 0 可化为 x 2 ＝ y ，抛物线开口向上，焦点在 y 轴的正半轴上， 2 p ＝ ，所以 p ＝ ， ＝ ，因此焦点坐标为 ，准线方程为 y ＝－ . (3) 方程 x ＝ 32 y 2 可化为 y 2 ＝ x ，抛物线开口向右，焦点在 x 轴的正半轴上， 2 p ＝ ，所以 p ＝ ， ＝ ，因此焦点坐标为 ，准线方程为 x ＝－ . (4) 当 a >0 时，抛物线开口向右，焦点在 x 轴的正半轴上， 2 p ＝ a ，所以 p ＝ ， ＝ ，因此焦点坐标为 ，准线方程为 x ＝－ ； 当 a <0 时，抛物线开口向左，焦点在 x 轴的负半轴上， 2 p ＝－ a ，所以 p ＝－ ， ＝－ ，因此焦点坐标为 ，准线方程为 x ＝－ . 综上可得，当 a ≠ 0 时，抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 x ＝－ . [ 规律方法 ] 　由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数 p ，从而得焦点坐标和准线方程，要注意 p >0 ，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 对点训练 ❶ (1) 抛物线 x 2 ＋ 2 y ＝ 0 的准线方程为 ( C ) A ． x ＝ B ． x ＝－ C ． y ＝ D ． y ＝－ (2) 抛物线 y ＝－ x 2 的焦点坐标为 ( D ) A. B ． C. D ． [ 解析 ] 　 (1) 方程化为 x 2 ＝－ 2 y ，焦点在 y 轴的负半轴上， p ＝ 1 ，所以准线方程是 y ＝ . (2) 方程化为 x 2 ＝－ y ，焦点在 y 轴负半轴上， 2 p ＝ 1 ，所以 ＝ ，故焦点坐标为 . 题型二　求抛物线的标准方程 典例 2 (1) 已知动点 M ( x ， y ) 满足 5 ＝ |3 x － 4 y ＋ 2| ，则动点 M 的轨迹是 ( D ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．直线 D ．抛物线 (2) 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： ① 准线方程为 y ＝ ； ② 焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5. [ 解析 ] 　 (1) 方程 5 ＝ |3 x － 4 y ＋ 2| 可化为 ＝ ， 表示点 M ( x ， y ) 到定点 (1,0) 的距离， 表示 M ( x ， y ) 到定直线 3 x － 4 y ＋ 2 ＝ 0 的距离，因此动点 M ( x ， y ) 到定点 (1,0) 的距离等于它到定直线 3 x － 4 y ＋ 2 ＝ 0 的距离，且定点 (1,0) 不在定直线 3 x － 4 y ＋ 2 ＝ 0 上，故动点 M 的轨迹是以 (1,0) 为焦点，以 3 x － 4 y ＋ 2 ＝ 0 为准线的抛物线． (2) ① 因为抛物线的准线交 y 轴于正半轴，且 ＝ ，则 p ＝ ，所以所求抛物线的标准方程为 x 2 ＝－ y . ② 已