2020年天津市高考数学试卷（全解析版）

2020 年天津市高考数学试卷 一．选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．设全集 ， ， ， 0 ， 1 ， 2 ， ，集合 ， 0 ， 1 ， ， ， 0 ， 2 ， ，则 （ 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， ， ， 1 ， 3 2 ．设 ，则 “ ” 是 “ ” 的 　　 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ．函数 的图象大致为 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： ，将所得数据分为 9 组： ， ， ， ， ， ， ， ， ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 ， 内的个数为 　　 A ． 10 B ． 18 C ． 20 D ． 36 5 ．若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．已知函数 ．给出下列结论： ① 的最小正周期为 ； ② 是 的最大值； ③ 把函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象． 其中所有正确结论的序号是 　　 A ． ① B ． ①③ C ． ②③ D ． ①②③ 9 ．已知函数 若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是 　　 A ． ， ， B ． ， ， C ． ， ， D ． ， ， 二．填空题： 本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10 ． 是虚数单位，复数 　　 ． 11 ．在 的展开式中， 的系数是 　　 ． 12 ．已知直线 和圆 相交于 ， 两点．若 ，则 的值为 　　 ． 13 ．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 　　 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 　　 ． 14 ．已知 ， ，且 ，则 的最小值为 　 　 ． 15 ．如图，在四边形 中， ， ， ，且 ， ，则实数 的值为 　　 ，若 ， 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为 　　 ． 三．解答题： 本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 ．（ 14 分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ， ． （ Ⅰ ）求角 的大小； （ Ⅱ ）求 的值； （ Ⅲ ）求 的值． 17 ．（ 15 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点 ， 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点． （ Ⅰ ）求证： ； （ Ⅱ ）求二面角 的正弦值； （ Ⅲ ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 18 ．（ 15 分）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原点． （ Ⅰ ）求椭圆的方程； （ Ⅱ ）已知点 满足 ，点 在椭圆上 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程． 19 ．（ 15 分）已知 为等差数列， 为等比数列， ， ， ． （ Ⅰ ）求 和 的通项公式； （ Ⅱ ）记 的前 项和为 ，求证： ； （ Ⅲ ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 20 ．（ 16 分）已知函数 ， 为 的导函数． （ Ⅰ ）当 时， （ ⅰ ）求曲线 在点 ， （ 1 ） 处的切线方程； （ ⅱ ）求函数 的单调区间和极值； （ Ⅱ ）当 时，求证：对任意的 ， ， ，且 ，有 ． 2020 年天津市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．设全集 ， ， ， 0 ， 1 ， 2 ， ，集合 ， 0 ， 1 ， ， ， 0 ， 2 ， ，则 （ 　　 ） A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， ， ， 1 ， 3 【思路分析】 进行补集、交集的运算即可． 【解析】： 全集 ， ， ， 0 ， 1 ， 2 ， ，集合 ， 0 ， 1 ， ， ， 0 ， 2 ， ，则 ， ， ， ， ，故选： ． 【总结与归纳】 考查列举法的定义，以及补集、并集的运算． 2 ．设 ，则 “ ” 是 “ ” 的 　　 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【思路分析】 解得 的范围，即可判断出结论． 【解析】： 由 ，解得 或 ，故 ” 是 “ ” 的充分不必要条件， 故选： ． 【总结与归纳】 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3 ．函数 的图象大致为 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】 根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解析】： 函数 ，则 ，则函数 为奇函数，故排除 ， ，当 是， ，故排除 ，故选： ． 【总结与归纳】 本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 4 ．从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： ，将所得数据分为 9 组： ， ， ， ， ， ， ， ， ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 ， 内的个数为 　　 A ． 10 B ． 18 C ． 20 D ． 36 【思路分析】 根据频率分布直方图求出径径落在区间 ， 的频率，再乘以样本的个数即可． 【解析】： 直径径落在区间 ， 的频率为 ， 则被抽