6.1 数列全章题型与解题方法超详细（讲义）-高考一轮复习数学通用版

第六章 数 列 本资料可以用与高一同步学习使用，也可以做为高三备战高考使用资料，使用对象是学生和教师。 本章知识结构图 数列 常见递推类型及方法 逐差累加法 逐商累积法 构造等比数列 { a n ＋ } 构造等差数列 ① a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) ② ＝ f ( n ) ③ a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ④ p a n ＋ 1 a n ＝ a n － a n ＋ 1 化为 = · ＋ 1 转为 ③ ⑤ a n + 1 ＝ pa n ＋ q n 公式法：应用等差、等比数列的前 n 项和公式 分组求和法 倒序相加法 裂项求和法 错位相加法 常见求和方法 概念 表示 等差数列与等比数列的类比 解析法： a n ＝ f ( n ) 通项公式 图象法 列表法 递推公式 等差数列 通项公式 求和公式 性质 判断 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d a n ＝ a 1 q n － 1 a n ＋ a m ＝ a p ＋ a r a n a m ＝ a p a r 前 n 项和 S n ＝ 前 n 项积 ( a n ＞ 0) T n ＝ 等比数列 a n ≠ 0 ， q ≠ 0 S n ＝ 数列是特殊的函数 第一节 等差数列与等比数列 考纲解读 理解等差数列、等比数列的概念 . 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 . 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 . 了解等差数列与一次函数、等比数列的性质以及函数的关系一直是高考中的热点 . 命题趋势探究 从内容上看，等差、等比数列的性质以及与函数的关系一直是高考中的热点 . 2. 在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力 . 3. 从命题形式上看 , 以选择、填空题为主 , 难度不大 . 知识点精讲 一、基本概念 1. 数列 (1) 定义 . 按照一定顺序排列的一列数就叫做数列 . (2) 数列与函数的关系 . 从函数的角度来看 , 数列是特殊的函数 . 在 中 , 当自变量 时 , 所对应的函数值 就构成一数列 , 通常记为 , 所以数列有些问题可用函数方法来解决 . 2. 等差数列 (1) 定义 . 一般地 , 如果一个数列从第 2 项起 , 每一项与它前一项的差等于同一常数 , 则该数列叫做等差数列 , 这个常数叫做公差 , 常用字母 表示 , 即 . (2) 等差数列的通项公式 . 若等差数列 的首项是 , 公差是 , 则其通项公式为 , 是关于 的 一次型函数 . 或 , 公差 ( 直线的斜率 )( ). (3) 等差中项 . 若 成等差数列 , 那么 叫做 与 的等差中项 , 即 或 , . 在一个等差数列中 , 从第 2 项起 ( 有穷等差数列的末项除外 ), 每一项都是它的前一项与后一项的等差中项 ; 事实上 , 等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项 . (4) 等差数列的前 项和 ( 类似于 ), 是关于 的 二次型函数 ( 二次项系数为 且常数项为 0) . 的图像在过原点的直线 上或在过原点的抛物线 上 . 3. 等比数列 (1) 定义 . 一般地 , 如果一个数列从第 2 项起 , 每一项与它前一项的比等于同一个非零常数 , 则该数列叫做等比数列 , 这个常数叫做公比 , 常用字母 表示 , 即 . (2) 等比数列的通项公式 . 等比数列的通项 , 是不含常数项的指数型函数 . (3) . (4) 等比中项 如果 成等比数列 , 那么 叫做 与 的等比中项 , 即 或 ( 两个同号实数的等比中项有两个 ). (5) 等比数列的前 项和 注①等比数列的前 项和公式有两种形式 , 在求等比数列的前 项和时 , 首先要判断公比 是否为 1, 再由 的情况选择相应的求和公式 , 当不能判断公比 是否为 1 时 , 要分 与 两种情况讨论求解 . ②已知 ( 项数 ), 则利用 求解 ; 已知 , 则利用 求解 . ③ , 为关于 的指数型函数 , 且系数与常数互为相反数 . 例如等比数列 , 前 项和为 , 则 . 解 : 等比数列前 项和 , 则 . 二、基本性质 1. 等差数列的性质 (1) 等差中项的推广 . 当 时 , 则有 , 特别地 , 当 时 , 则有 . (2) 等差数列线性组合 . ①设 是等差数列 , 则 也是等差数列 . ②设 是等差数列 , 则 也是等差数列 . (3) 有限数列 . ①对于项数为 的等差数列 , 有 : ( Ⅰ ) . ( Ⅱ ) . ②对于项数为 的等差数列 , 有 ; ( Ⅰ ) . ( Ⅱ ) . (4) 等差数列的单调性及前 项和 的最值 . 公差 为递增等差数列 , 有最小值 ; 公差 为递减等差数列 , 有最大值 ; 公差 为常数列 . 特别地 若 , 则 有最大值 ( 所有正项或非负项之和 ); 若 , 则 有最小值 ( 所有负项或非正项之和 ). (5) 其他衍生等差数列 . 若已知等差数列 , 公差为 , 前 项和为 , 则 : ①等间距抽取 为等差数列 , 公差为 . ②等长度截取 为等差数列 , 公差为 . ③算术平均值 为等差数列 , 公差为 . 2. 等差数列的几个重要结论 (1) 等差数列 中 , 若 , 则 . (2) 等差数列 中 , 若 , 则 . (3) 等差数列 中 , 若 , 则 . (4) 若 与 为等差数列 , 且前 项和为 与 , 则 . 3. 等比数列的性质 (1) 等比中项的推广 . 若 时 , 则 , 特别地 , 当 时 , . (2) ①设 为等比数列 , 则 ( 为非零常数 ), , 仍为等比数列 . ②设 与 为等比数列 , 则 也为等比数列 . (3) 等比数列 的单调性 ( 等比数列的单调性由首项 与公比 决定 ). 当 或 时 , 为递增数列 ; 当 或 时 , 为递减数列 . (4) 其他衍生等比数列 . 若已知等比数列 , 公比为 , 前 项和为 , 则 : ①等间