高中数学新教材人教A版同步必修第一册 第3章 3.2.2 第2课时　奇偶性的应用

第 2 课时　奇偶性的应用 学习目标 　 1. 掌握用奇偶性求解析式的方法 .2. 理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式． 知识点一　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间 [ a ， b ] 上的解析式，想求关于原点的对称区间 [ － b ，－ a ] 上的解析式，其解决思路为： (1)“ 求谁设谁 ” ，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区间上设． (2) 要利用已知区间的解析式进行代入． (3) 利用 f ( x ) 的奇偶性写出－ f ( x ) 或 f ( － x ) ，从而解出 f ( x ) ． 知识点二　奇偶性与单调性 若函数 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) 在关于原点对称的两个区间 [ a ， b ] 和 [ － b ，－ a ] 上具有相同的单调性；若函数 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) 在关于原点对称的两个区间 [ a ， b ] 和 [ － b ，－ a ] 上具有相反的单调性． 预习小测　自我检验 1 ．若 f ( x ) 的定义域为 R ，且 f ( x ) 为奇函数，则 f (0) ＝ ________. 答案　 0 2 ．若 f ( x ) 为 R 上的奇函数，且在 [0 ，＋ ∞) 上单调递减，则 f ( － 1)________ f (1) ． ( 填 “>”“ ＝ ” 或 “<”) 答案　 > 解析　 f ( x ) 为 R 上的奇函数，且在 [0 ，＋ ∞) 上单调递减， ∴ f ( x ) 在 R 上单调递减， ∴ f ( － 1)> f (1) ． 3 ．如果奇函数 f ( x ) 在区间 [ － 7 ，－ 3] 上是减函数，那么函数 f ( x ) 在区间 [3,7] 上是 ________ 函数． 答案　 减 解析　 ∵ f ( x ) 为奇函数， ∴ f ( x ) 在 [3,7] 上的单调性与 [ － 7 ，－ 3] 上一致， ∴ f ( x ) 在 [3,7] 上是减函数． 4 ．函数 f ( x ) 为偶函数，若 x >0 时， f ( x ) ＝ x ，则 x <0 时， f ( x ) ＝ ________. 答案　 － x 解析　方法一　 令 x <0 ，则－ x >0 ， ∴ f ( － x ) ＝－ x ， 又 ∵ f ( x ) 为偶函数， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) ＝－ x ( x <0) ． 方法二　 利用图象 ( 图略 ) 可得 x <0 时， f ( x ) ＝－ x . 一、利用函数的奇偶性求解析式 命题角度 1 　求对称区间上的解析式 例 1 　 函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数，当 x >0 时， f ( x ) ＝－ x ＋ 1 ，求当 x <0 时， f ( x ) 的解析式． 考点　 函数奇偶性的应用 题点　 利用奇偶性求函数的解析式 解 　设 x <0 ，则－ x >0 ， ∴ f ( － x ) ＝－ ( － x ) ＋ 1 ＝ x ＋ 1 ， 又 ∵ 函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数， ∴ 当 x <0 时， f ( x ) ＝－ f ( － x ) ＝－ x － 1. 反思感悟　 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x ，然后把 x 转化为－ x ，此时－ x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 跟踪训练 1 　 已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数，且当 x ∈(0 ，＋ ∞) 时， f ( x ) ＝ x (1 ＋ x ) ，求 f ( x ) 的解析式． 解　 因为 x ∈( － ∞ ， 0) 时，－ x ∈(0 ，＋ ∞) ， 所以 f ( － x ) ＝－ x [1 ＋ ( － x )] ＝ x ( x － 1) ． 因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数， 所以 f ( x ) ＝－ f ( － x ) ＝－ x ( x － 1) ， x ∈( － ∞ ， 0) ． f (0) ＝ 0. 所以 f ( x ) ＝ 命题角度 2 　构造方程组求解析式 例 2 　 设 f ( x ) 是偶函数， g ( x ) 是奇函数，且 f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ ，求函数 f ( x ) ， g ( x ) 的解析式． 考点　 函数奇偶性的应用 题点　 利用奇偶性求函数的解析式 解 　 ∵ f ( x ) 是偶函数， g ( x ) 是奇函数， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ， g ( － x ) ＝－ g ( x ) ， 由 f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ .① 用－ x 代替 x ， 得 f ( － x ) ＋ g ( － x ) ＝ ， ∴ f ( x ) － g ( x ) ＝ ， ② (① ＋ ②)÷2 ，得 f ( x ) ＝ ； (① － ②)÷2 ，得 g ( x ) ＝ . 反思感悟　 f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ 对定义域内任意 x 都成立，所以可以对 x 任意赋值，如 x ＝－ x . 利用 f ( x ) ， g ( x ) 一奇一偶，把－ x 的负号或提或消，最终得到关于 f ( x ) ， g ( x ) 的二元方程组，从中解出 f ( x ) 和 g ( x ) ． 跟踪训练 2 　 设 f ( x ) 是偶函数， g ( x ) 是奇函数，且 f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ，求函数 f ( x ) ， g ( x ) 的解析式． 考点　 函数奇偶性的应用 题点　 利用奇偶性求函数的解析式 解 　 ∵ f ( x ) 是偶函数， g ( x ) 是奇函数， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ， g ( － x ) ＝－ g ( x ) ， 由 f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ 2 x ＋ x 2 .① 用－ x 代替 x ， 得 f ( － x ) ＋ g ( － x ) ＝－ 2 x ＋ ( － x ) 2 ， ∴ f ( x ) － g ( x ) ＝－ 2 x ＋ x 2 ， ② (① ＋ ②)÷2 ，得 f ( x ) ＝ x 2 ； (① － ②)÷2 ，得 g ( x ) ＝ 2 x . 二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例 3 　 设偶函数 f ( x ) 的定义域为 R ，当 x ∈[0 ，＋ ∞) 时， f ( x ) 是增函数，则 f ( － 2) ， f (π) ， f ( － 3) 的大小关系是 ( 　　 ) A ． f (π)> f ( － 3)> f ( － 2) B ． f (π)> f ( － 2)> f ( － 3) C ． f (π)< f ( － 3)< f ( － 2) D ． f (π)< f