2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册 8.6.1 直线与直线垂直(课件)

8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90度的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度，类似的我们也可以用异面直线所成的角来刻画两条异面直线的位置关系. a′b′Oθ？Oa′平移探究点1 两条异面直线所成的角ab 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).（1）将空间图形转化为平面图形（2）异面直线夹角转化为相交直 线的夹角思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变? 当两条直线a，b互相平行时，我们规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 空间任意两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为 (　　)A.60°　　B.120°　　C.30°　　D.60°或120°【即时训练】D 例1 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.（1）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？（2）求直线BA′与CC′所成的角大小。（3）求直线BA′与AC 所成的角大小。（2）由 可知， 为异面直线 与 的夹角, =45°所以，直线 与 的夹角为45°. 解：(1)直线 垂直.所在直线分别与 例1 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.（1）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？（2）求直线BA′与CC′所成的角大小。（3）求直线BA′与AC 所成的角大小。   例2 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？解:（1）由异面直线的定义可知，与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′. (2)直线与直线 垂直.分别 (1)求两异面直线所成的角的一般步骤：①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；②证：证明作出的角就是要求的角；③计算：求角的值，常利用解三角形．可用“一作二证三计算”来概括．(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况．【提升总结】 例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心.求证AO1⊥BD.分析:要证明AO1⊥BD,应先构造直线AO1与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得AO1⊥BD. 证明:如图，连接B1D1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1 DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角，连接AB1，AD1,易证AB1=AD1，又O1底面A1B1C1D1的中心.∴O1为B1D1中点，∴AO1⊥B1D1,∴AO1⊥BD. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能【即时训练】解析:当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面或平行.D 直线与直线垂直核心知识易错提醒核心素养方法总结直观想象：求作异面直线所成角的问题异面直线所成的角的求法(1)作：利用中位线、长方体、平行四边形等性质平移至一个三角形，并说明为异面直线所成的角或补角. (2)求：利用余弦定理求角（如果是特殊三角形），或利用三角形的性质求角。求异面直线所成的角时注意的范围直线与直线垂直异面直线所成的角求异面直线所成的角 B 60O ABGFHEDC24.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB= ,AD= ,AE=2.(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度? (2)因为BF∥AE， 所以∠FBG（或其补角）为所求.在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°， 所以AE与BG所成的角为60°.ABGFHEDC2解：(1)因为GF∥BC， 所以∠EGF（或其补角）为所求.在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，所以BC与EG所成的角为45°. 不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴，从此就怀疑没有蓝天彩霞。