2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.6解三角形1.6.1余弦定理 课件

1.6.1　余弦定理 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教材要点要点一　解三角形从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形．要点二　余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________．推论cos A＝__________，cos B＝___________，cos C＝__________．b2＋c2－2bccos Aa2＋c2－2ac cos Ba2＋b2－2ab cos C    状元随笔　对余弦定理的理解(1)余弦定理对任意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．  基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　)(2)余弦定理只适用于锐角三角形．(　　)(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)√×√√ 2．在△ABC中，已知b＝8，c＝3，∠A＝60°，则a＝(　　)A．73 B．49 C． D．7 答案：D解析：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝82＋32－2×8×3×＝49.∴a＝7.  3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)A． B．C． D． 答案：B解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos B＝＝＝.  4．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝30°，则c＝________．  解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋9－2×2×3×＝3，∴c＝.  题型探究·课堂解透 题型 1　已知两边及一角解三角形例1　(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则BC的长为(　　)A． B． C．3 D．  答案：D解析：由题意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋9－6＝7，则BC＝，故选D.  (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，∠B＝120°，则边a等于(　　)A． B． C． D．2 解析：根据余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴6＝a2＋2－2 a×，∴a＝(负值舍去)． 答案：C 方法归纳(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 跟踪训练1　(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________． 2 解析：根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.  (2)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________． 1解析：根据余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C所以13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1(负值舍去)． 题型 2　已知三角形三边及关系解三角形例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)A． B． C． D． 解析：因为c<b<a，所以最小角为角C.所以cos C＝＝＝，所以∠C＝. 答案：B (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．解析：已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4.又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c.因此a为最大边，∠A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14. 方法归纳(1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择；(2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论．  跟踪训练2　(1)在△ABC中，若a2＋c2＝b2－ac，则∠B＝(　　)A． B． C． D． 解析：因为a2＋c2＝b2－ac，所以a2＋c2－b2＝－ac，所以cos B＝＝＝－，又B∈(0，π)，所以B＝. 答案：D (2)△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，则其最大内角等于________． 解析：由于c最大，故C最大，cos C＝＝－，由于0<C<π，所以C＝.  题型3　判断三角形的形状例3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin B cos C．试判断△ABC的形状．解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以cos A＝.又因为0°<A<180°，所以A＝60°.因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，且sin A＝2sin B cos C，所以sin B cos C＝cos