2021年全国统一高考数学试卷（北京卷）（全解析版）

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） . A. ； B. ； C. ； D. . 2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ） . A. ； B. ； C. ； D. . 3. 已知 是定义在上 的函数，那么 “ 函数 在 上单调递增 ” 是 “ 函数 在 上的最大值为 ” 的（ ） . A. 充分而不必要条件 ； B. 必要而不充分条件 ； C. 充分必要条件 ； D. 既不充分也不必要条件 . 4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） . A. ； B. 4 ； C. ； D. 2 . 5. 双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程为（ ） . A. ； B. ； C. ； D. . 6. 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ） . A. ； B. ； C. ； D. . 7. 函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） . A. 奇函数，最大值为 2 ； B. 偶函数，最大值为 2 ； C. 奇函数，最大值 ； D. 偶函数，最大值为 . 8. 定义： 24 小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨 （ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨 （ ），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这 天降雨属于哪个等级（ ） . A. 小雨 ； B. 中雨 ； C. 大雨 ； D. 暴雨 . 9. 已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为 2 ，则 （ ） . A. B. C. D. 10. 数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ） . A. 9 ； B. 10 ； C. 11 ； D. 12 . 二、填空题： 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11. 展开式中常数项为 __________ ． 12. 已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是 _______ ；作 轴于 ，则 _______ ． 13. ， ， ，则 _______ ； _______ ． 14. 若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ___ ． 15. 已知函数 ，给出下列四个结论： ① 若 ，则 有两个零点； ② ，使得 有一个零点； ③ ，使得 有三个零点； ④ ，使得 有三个零点． 以上正确结论得序号是 _______ ． 三、解答题：共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知 中， ， ． （ 1 ）求 的大小； （ 2 ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度． ① ； ② 周长为 ； ③ 面积为 ； 17. 已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ． （ 1 ）证明：点 为 的中点； （ 2 ）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值． 18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取 “ 合 1 检测法 ” ，即将 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2 人感染病毒． （ 1 ） ① 若采用 “10 合 1 检测法 ” ，且两名患者在同一组，求总检测次数； ② 已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组 概率为 ，定义随机变量 X 为总检测次数，求检测次数 X 的分布列和数学期望 E ( X ) ； （ 2 ）若采用 “5 合 1 检测法 ” ，检测次数 Y 的期望为 E ( Y ) ，试比较 E ( X ) 和 E ( Y ) 的大小 ( 直接写出结果 ) ． 19. 已知函数 ． （ 1 ）若 ，求 处切线方程； （ 2 ）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值． 20. 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成 四边形面积为 ． （ 1 ）求椭圆 E 的标准方程； （ 2 ）过点 的直线 斜率为 ，交椭圆 E 于不同的两点 B ， C ，直线 AB ， AC 交 于点 M 、 N ，直线 AC 交 于点 N ，若 ，求 k 的取值范围． 21. 定义 数列 ：对实数 p ，满足： ① ， ； ② ； ③ ， ． （ 1 ）对于前 4 项 2 ， -2 ， 0 ， 1 的数列，可以是 数列吗？说明理由； （ 2 ）若 是 数列，求 的值； （ 3 ）是否存在 p ，使得存在 数列 ，对 ？若存在，求出所有这样的 p ；若不存在，说明理由． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 参考答案与试题解析 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题： 共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【思路分析】结合题意利用并集的定义计算即可 . 【解析】：由题意可得： ，即 . 故选： B. 2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【思路分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果 . 【解析】：由题意可得： . 故选： D. 3. 已知 是定义在上 的函数，那么 “ 函数 在 上单调递增 ” 是 “ 函数 在 上的最大值为 ” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【思路分析】利用