2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学案

3 ． 1.2 　椭圆的简单几何性质 第 1 课时　椭圆的简单几何性质 学习目标 1. 掌握椭圆的简单几何性质． 2. 了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响． 知识脉络 — 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 范围 － a ≤ x ≤ a ，－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b ，－ a ≤ y ≤ a 顶点 A 1 ( － a ， 0) ， A 2 ( a ， 0) ， B 1 (0 ，－ b ) ， B 2 (0 ， b ) ＋ A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) ， B 1 ( － b ， 0) ， B 2 ( b ， 0) 轴长 长轴长＝ | A 1 A 2 | ，短轴长＝ | B 1 B 2 | 焦点 F 1 ( － c ， 0) ， F 2 ( c ， 0) F 1 (0 ，－ c ) ， F 2 (0 ， c ) 焦距 2 c 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 (0 ， 0) 离心率 e ＝ (0 ＜ e ＜ 1) 思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？ 提示　不是 ， 离心率是比值 ， 比值相同不代表 a ， c 值相同 ， 它反映的是椭圆的扁圆程度． (1) 椭圆 6 x 2 ＋ y 2 ＝ 6 的长轴端点坐标为 ( 　　 ) A ． ( － 1 ， 0) ， (1 ， 0) 　　　 B ． ( － 6 ， 0) ， (6 ， 0) C ． ( － ， 0)( ， 0) D ． (0 ， ) ， (0 ，－ ) D 　 [ 由 6 x 2 ＋ y 2 ＝ 6 得： x 2 ＋ ＝ 1 ， ∴ a 2 ＝ 6 ， b 2 ＝ 1. ∴ 长轴端点坐标为 (0 ， ) ， (0 ， － ).] (2) 椭圆 x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 1 的离心率为 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． A 　 [ 由已知得： a 2 ＝ 1 ， b 2 ＝ ， ∴ c ＝ ， ∴ e ＝ ＝ .] (3) 经过点 P (3 ， 0) ， Q (0 ， 2) 的椭圆的标准方程为 ________ ． 解析　由题易知点 P (3 ， 0) ， Q (0 ， 2) 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点 ，故椭圆的焦点在 x 轴上 ， 所以 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， 故椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. 答案　 ＋ ＝ 1 (4) 已知椭圆 E 的短轴长为 6 ，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9 ，则椭圆 E 的离心率等于 ________ ． 解析　根据题意得 2 b ＝ 6 ， a ＋ c ＝ 9 或 a － c ＝ 9( 舍去 ). 所以 a ＝ 5 ， c ＝ 4 ， 故 e ＝ ＝ . 答案　 1 ．在处理椭圆的一些参数问题或最值问题时要注意 x ， y 的取值范围． 2 ． 椭圆的离心率对椭圆扁圆形状的影响：椭圆 ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的长半轴长为 a ， 当 c 越接近于 a ， b 就越接近于 0 ， 这时椭圆越扁；当 c 越接近于 0 ， b 就越接近于 a ， 这时椭圆就越圆． 类型一 由椭圆方程研究几何性质 数据分析 【例 1 】　 (1) 椭圆 ( m ＋ 1) x 2 ＋ my 2 ＝ 1 的长轴长为 ________ ，焦距为 ________ ． (2) 求椭圆 4 x 2 ＋ 9 y 2 ＝ 36 的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． (1) 解析　椭圆方程可化为 ＋ ＝ 1 ， 由题意知 m >0 ， 所以 > ， 所以 a ＝ ， 所以 2 a ＝ ， c ＝ ＝ ， 所以 ， 2 c ＝ 2 答案　 (1) 　 2 (2) 解　将椭圆方程变形为 ＋ ＝ 1 ， ∴ a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， ∴ c ＝ ＝ ＝ . ∴ 椭圆的长轴长和焦距分别为 2 a ＝ 6 ， 2 c ＝ 2 ， 焦点坐标为 F 1 ( － ， 0) ， F 2 ( ， 0) ， 顶点坐标为 A 1 ( － 3 ， 0) ， A 2 (3 ， 0) ， B 1 (0 ， － 2) ， B 2 (0 ， 2) ， 离心率 e ＝ ＝ . 【延伸探究】　 本例 (2) 中若把椭圆方程改为 “ 9 x 2 ＋ 16 y 2 ＝ 144 ” 求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 解　已知方程化成标准方程为 ＋ ＝ 1. ∴ a ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ ＝ . ∴ 椭圆的长轴长与短轴长分别为 8 和 6 ， 离心率 e ＝ ＝ . 焦点坐标为 F 1 ( － ， 0) ， F 2 ( ， 0) ；四个顶点的坐标为： A 1 ( － 4 ， 0) ， A 2 (4 ， 0) ， B 1 (0 ， － 3) ， B 2 (0 ， 3). 类型二 由几何性质求椭圆的方程 数学运算 【例 2 】　写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1) 焦点在 x 轴上， a ＝ 4 ， e ＝ ； (2) 焦点在 y 轴上， c ＝ 6 ， e ＝ ； (3) 短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5 ，焦点到椭圆中心的距离为 3 ； (4) 离心率为 ，经过点 (2 ， 0). 解　 (1) 由 a ＝ 4 ， e ＝ ＝ 知 ， c ＝ 2 ， b 2 ＝ 16 － 4 ＝ 12 ， 又焦点在 x 轴上 ， ∴ 椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. (2) 由 c ＝ 6 ， e ＝ 知 ， a ＝ 9 ， b 2 ＝ 81 － 36 ＝ 45 ， 又焦点在 y 轴上 ， ∴ 椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. (3) 由题意知 ， a ＝ 5 ， c ＝ 3 ， b 2 ＝ 25 － 9 ＝ 16 ， 当焦点在 x 轴时 ， 椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1 ； 当焦点在 y 轴时 ， 椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. (4) 由 e ＝ ＝ ， 设 a ＝ 2 k ， c ＝ k ， k ＞ 0 ， 则 b ＝ k . 当点 (2 ， 0) 为短轴端点时 ， b ＝ k ＝ 2 ， a ＝ 2 k ＝ 4 ， ∴ 椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. ∴ 当点 (2 ， 0) 为长轴端点时 ， a ＝ 2 ， b ＝ 1 ， c ＝ ∴ 椭圆的标准方程为 ＋ y 2 ＝ 1 ＋ y 2 ＝ 1 提醒：与椭圆 ＋ ＝ 1( a > b >0) 有相同离心率的椭圆方程为 ＋ ＝ k 1 ( k 1 >0 ， 焦点在 x 轴上 ) 或 ＋ ＝ k 2 ( k 2 >0 ， 焦点在 y 轴上 ). 　求满足下列条件的椭圆的方程． (1) 在 x 轴上的一