2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件

7.1.1　数系的扩充和复数的概念 课程标准1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教 材 要 点要点一　复数的有关概念1．复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i❶叫做________，满足i2＝________．2．复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集❷.3．复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．❸要点二　复数相等的充要条件❹在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当__________．虚数单位－1a＝c且b＝d 要点三　复数的分类1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 实数虚数a＝0a≠0 助 学 批 注批注❶　i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．批注❷　复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.批注❸　复数a＋bi的实部、虚部不一定是a、b，只有当a∈R，b∈R时，a、b才是该复数的实部、虚部．批注❹　(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，即分离实部和虚部．(2)只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di.(3)由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0. 夯 实 双 基　1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)复数i的实部不存在，虚部为0.(　　)(3)bi是纯虚数．(　　)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)×××√ 2．复数z＝2－i的虚部是(　　)A．1　　　B．－1　　　C．2　　　D．－2答案：B解析：复数z＝2－i的虚部是－1，故选B. 3．设x＋2i＝1－yi(i是虚数单位，x∈R，y∈R)，若复数z＝x＋yi，则z为(　　)A．z＝1－2i B．z＝1＋2iC．z＝－1＋2i D．z＝2－2i答案：A解析：因为x＋2i＝1－yi(i是虚数单位，x∈R，y∈R)，所以x＝1，y＝－2，所以z＝1－2i.故选A. 4．在下列数中，属于虚数的是_________________________，属于纯虚数的是________．0，1＋i，πi，＋2i，i，i. 1＋i，πi，＋2i，i，i πi，i 解析：根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i是纯虚数．  题型探究·课堂解透 题型 1　复数的概念例1　(多选)[2022·辽宁同泽高一期中]有下面四个命题，真命题的是(　　)A．1＋i2＝0B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋iC．x2＋y2＝0，则x＝y＝0D．两个虚数不能比较大小答案：AD解析：对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错；对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0，故C错；按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，D正确．故选AD. 题后师说判断与复数概念有关的命题真假的注意点正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系．  巩固训练1　下列说法正确的是(　　)A．i表示虚数单位，所以它不是一个虚数B．－1的平方根是±iC．bi(b∈R)是纯虚数D．若z＝a(a∈R)，则复数z没有虚部答案：B解析：i表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；由(±i)2＝－1，可知－1的平方根是±i，故B正确；当b＝0，bi是实数，故C错误；若z＝a(a∈R)，则复数z虚部为0，故D错误．故选B. 题型 2　复数的分类例2　实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？ 解析：①当x满足即x＝5时，z是实数．②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．  题后师说利用复数的分类求参数的策略 巩固训练2　[2022·山东青岛高一期末]已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)A．2 B．－2 C．±2 D．4答案：A解析：由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得，解得x＝2.故选A.  题型 3　复数相等例3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，求m. 解析：因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的充要条件得解得m＝5.  题后师说解决复数相等问题的一般步骤 巩固训练3　[2022·广东江门高一期末]实数x，y满足条件：(x＋y)＋(y－1)i＝y＋(2y＋1)i，(其中i为虚数单位)，则x＋y＝(　　)A．－2 B．2 C．3 D．－3 答案：A解析：因为(x＋y)＋(y－1)i＝y＋(2y＋1)i，所以，解得，所以x＋y＝－2，故选A.