2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.1.2　第2课时 椭圆的标准方程的应用及直线与椭圆的位置关系 学案

第 2 课时　椭圆的标准方程的应用及直线与椭圆的位置关系 课程标准 1 ．进一步巩固椭圆的几何性质．　 2. 掌握直线与椭圆的位置关系及其应用． 学法解读 1 ．类比直线与圆的位置关系了解直线与椭圆的位置关系． ( 数学抽象 ) 2 ．会求直线与椭圆相交所得的弦长． ( 数学运算 ) 3 ．掌握直线与椭圆、离心率等相关的综合问题． ( 数学运算、逻辑推理 ) 知识点 1 　点与椭圆的位置关系 点 P ( x 0 ， y 0 ) 与椭圆 ＋ ＝ 1( a > b >0) 的位置关系： 点 P 在椭圆上 ⇔ ＋ ＝ 1 　 ； 点 P 在椭圆内部 ⇔ ＋ <1 　 ； 点 P 在椭圆外部 ⇔ ＋ >1 　 . 做一做： 1. 点 P (2,1) 与椭圆 ＋ ＝ 1 的位置关系是 点 P 在椭圆外部　 . [ 解析 ] 　由 ＋ >1 知，点 P (2,1) 在椭圆的外部． 2 ．若点 A ( a, 1) 在椭圆 ＋ ＝ 1 的内部，则 a 的取值范围是 ( － ， ) 　 . [ 解析 ] 　因为点 A 在椭圆内部， 所以 ＋ ＜ 1 ，所以 a 2 ＜ 2 ，所以－ ＜ a ＜ . 知识点 2 　直线与椭圆的位置关系 直线 y ＝ kx ＋ m 与椭圆 ＋ ＝ 1( a > b >0) 的位置关系判断方法：由 消去 y ( 或 x ) 得到一个一元二次方程 . 位置关系 解的个数 Δ 的取值 相交 两解 Δ_ > __0 相切 一解 Δ_ ＝ __0 相离 无解 Δ_ < __0 做一做：判断正误 ( 正确的打 “√” ，错误的打 “×” ) (1) 若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( √ ) (2) 已知椭圆 ＋ ＝ 1( a > b >0) 与点 P ( b, 0) ，过点 P 可作出该椭圆的一条切线． ( × ) (3) 直线 y ＝ k ( x － a )( k ≠ 0) 与椭圆 ＋ ＝ 1 的位置关系是相交． ( √ ) 提示： (1) 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2) 因为 P ( b, 0) 在椭圆内部，过点 P 作不出椭圆的切线． (3) 直线 y ＝ k ( x － a )( k ≠ 0) 过点 ( a, 0) 且斜率存在，所以直线 y ＝ k ( x － a ) 与椭圆 ＋ ＝ 1 的位置关系是相交． 知识点 3 　直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为 k ，直线与椭圆两交点为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 | AB | ＝ _ | x 1 － x 2 | __ ＝ _ | y 1 － y 2 | __ ，一般地， | x 1 － x 2 | ＝ 用根与系数关系求解． 做一做：椭圆 x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 16 被直线 y ＝ x ＋ 1 截得的弦长为 　 . [ 解析 ] 　由 消去 y 并化简得 x 2 ＋ 2 x － 6 ＝ 0. 设直线与椭圆的交点为 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝－ 2 ， x 1 x 2 ＝－ 6. 所以弦长 | MN | ＝ | x 1 － x 2 | ＝ ＝ ＝ . 题型探究 题型一　实际生活中的椭圆问题 典例 1 ( 多选 ) 中国的嫦娥四号探测器，简称 “ 四号星 ” ，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然 · 通讯》在线发表．如图所示，现假设 “ 四号星 ” 沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅱ 绕月飞行．若用 2 c 1 和 2 c 2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的焦距，用 2 a 1 和 2 a 2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的长轴长，则下列式子正确的是 ( BD ) A ． a 1 ＋ c 1 ＝ a 2 ＋ c 2 B ． a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 C. < D. > [ 解析 ] 　由图可知， a 1 > a 2 ， c 1 > c 2 ，所以 a 1 ＋ c 1 > a 2 ＋ c 2 ，所以 A 不正确；在椭圆轨道 Ⅰ 中可得， a 1 － c 1 ＝ | PF | ，在椭圆轨道 Ⅱ 中可得， | PF | ＝ a 2 － c 2 ，所以 a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 ，所以 B 正确； a 1 ＋ c 2 ＝ a 2 ＋ c 1 ，两边同时平方得， a ＋ c ＋ 2 a 1 c 2 ＝ a ＋ c ＋ 2 a 2 c 1 ， 所以 a － c ＋ 2 a 1 c 2 ＝ a － c ＋ 2 a 2 c 1 ，即 b ＋ 2 a 1 c 2 ＝ b ＋ 2 a 2 c 1 ，由图可得， b > b ， 所以 2 a 1 c 2 <2 a 2 c 1 ， < ，所以 C 错误， D 正确． [ 规律方法 ] 　解决和椭圆有关的实际问题的思路 ( 数学抽象 ) (1) 通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2) 确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3) 用解得的结果说明原来的实际问题． 对点训练 ❶ 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点 A 距地面 m km ，远地点 B 距离地面 n km ，地球半径为 k km ，则飞船运行轨道的短轴长为 ( A ) A ． 2 km 　　 B ． km C ． m · n km D ． 2 mn km [ 解析 ] 　由题意可得 a － c ＝ m ＋ k ， a ＋ c ＝ n ＋ k ，故 ( a － c )( a ＋ c ) ＝ ( m ＋ k )( n ＋ k ) ．即 a 2 － c 2 ＝ b 2 ＝ ( m ＋ k )( n ＋ k ) ，所以 b ＝ ，所以椭圆的短轴长为 2 ，故选 A. 题型二　直线与椭圆的位置关系 典例 2 已知直线 l ： y ＝ 2 x ＋ m ，椭圆 C ： ＋ ＝ 1. 试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C ： (1) 有两个不同的公共点； (2) 有且只有一个公共点； (3)