第二章 平面向量及其应用§2 从位移的合成到向量的加减法
课时1 向量的加法
学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念.（数学抽象） 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.（数学运算） 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.（直观想象）
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1.使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？[答案] 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.2. <m></m> 成立吗？ [答案] 成立.3.当向量 <m></m> 与 <m></m> 共线时， <m></m> 仍然成立吗？ [答案] 成立.
4. <m></m> 与 <m></m> 和 <m></m> 之间的大小关系如何？ [答案] 当 <m></m> 与 <m></m> 同向共线时， <m></m> 与 <m></m> ， <m></m> 同向，且 <m></m> .当 <m></m> 与 <m></m> 反向共线时，若 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 的方向相同，且 <m></m> ；若 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 的方向相同，且 <m></m> .当 <m></m> 与 <m></m> 不共线时， <m></m> . 5.向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？[答案] 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1） <m></m> . ( ) √（2） <m></m> . ( ) ×（3） <m></m> . ( ) √（4） <m></m> . ( ) √2.化简 <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C[解析] 根据平面向量的加法运算，得 <m></m> .
3.在四边形 <m></m> 中， <m></m> ，则( ). A.四边形 <m></m> 一定是矩形 B.四边形 <m></m> 一定是菱形C.四边形 <m></m> 一定是正方形 D.四边形 <m></m> 一定是平行四边形 D[解析] 由 <m></m> 知， <m></m> ,所以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 四点构成的四边形一定是平行四边形. 4.已知向量 <m></m> 表示“向东航行 <m></m> ”， <m></m> 表示“向南航行 <m></m> ”，则 <m></m> 表示_ _________________. 向东南航行 <m></m> [解析] 根据题意，由于向量 <m></m> 表示“向东航行 <m></m> ”，向量 <m></m> 表示“向南航行 <m></m> ”，则 <m></m> 表示“向东南航行 <m></m> .”
探究1 向量的加法及几何意义 如图，某质点从点 <m></m> 经过点 <m></m> 到点 <m></m> ．
问题1：上述这个质点的位移 <m></m> 可以怎么表示？ [答案] 从运算的角度看， <m></m> 可以认为是 <m></m> 与 <m></m> 的和，即 <m></m> ． 问题2：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[答案] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．
新知生成1.向量加法的平行四边形法则以同一点 <m></m> 为起点的两个已知向量 <m></m> ， <m></m> ，以 <m></m> ， <m></m> 为邻边作 <m></m> ，则以 <m></m> 为起点的向量 <m></m> 就是 <m></m> 与 <m></m> 的和.把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的____________法则. 秘诀:起点相同，过起点的对角线为和．平行四边形
2.向量加法的定义和三角形法则已知非零向量 <m></m> 和 <m></m> ，如图,在平面内任取一点 <m></m> ，作 <m></m> , <m></m> ，则向量 <m></m> 叫作 <m></m> 与 <m></m> 的和，记作 <m></m> ，即 <m></m> ． （1）求两个向量和的运算叫作向量的加法．（2）这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．秘诀:首尾相连首尾连．
（3）向量求和的多边形法则①已知 <m></m> 个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这 <m></m> 个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.即 <m></m> ．②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0．
3.对于零向量与任一向量 <m></m> ，规定： <m></m> ． 特别提醒：（1）利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则时，要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.（2）当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.（3）三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
新知运用例1 如图，已知向量 <m></m> ， <m></m> ，求作向量 <m></m> ． 方法指导 可用平行四边形法则画图．[解析] 如图，在平面内任意取一点 <m></m> ，作 <m></m> ， <m></m> ,作平行四边形 <m></m> ，则 <m></m> ．
&1& 向量求和的注意点 （1）三角形法则在两个向量共线时也适用． （2）两个向量的和向量仍是一个向量. （3）平行四边形法则在两个向量共线时不适用．
如图所示，求
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 向量的加法 课件
