2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 1.4两条直线的平行与垂直 课件

第一章1.4　两条直线的平行与垂直 基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准1.能根据直线的斜率和在y轴上的截距判断两条直线相交、平行、重合.2.能利用直线的法向量推导出两条直线平行的条件.3.能利用直线的法向量推导出两条直线垂直的条件.4.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　两条直线平行 1.几何方法判断对于两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,则　　 　　　　　是l1∥l2的充要条件. 对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥l2⇔　　　;l1与l2相交⇔　　　　. 倾斜角相等(α1=α2)　 k1=k2 k1≠k2 2.向量方法判断对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0), l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),它们的法向量分别是n1=(A1,B1),n2=(A2,B2),(1)l1与l2相交的充要条件是n1与n2不共线,即A1B2≠A2B1.(2)l1与l2平行的充要条件是n1与n2共线,即A1B2=A2B1.名师点睛若没有指明l1,l2不重合,则k1=k2⇔l1∥l2或l1与l2重合.用斜率相等证明三点共线时,常用到这一结论. 过关自诊1.[人教B版教材习题]已知直线2x+y-8=0与直线3x+(1-a)y+3=0平行,求a的值.提示 易知2(1-a)-3=0,∴a=- . 2.[人教A版教材习题]判断下列不同的直线l1与l2是否平行.(1)l1的斜率为2,l2经过A(1,2),B(4,8)两点;(2)l1经过P(3,3),Q(-5,3)两点,l2平行于x轴,但不经过P,Q两点;(3)l1经过M(-1,0),N(-5,-2)两点,l2经过R(-4,3),S(0,5)两点. (2)因为l1经过点P(3,3),Q(-5,3),它们的纵坐标相同,所以直线l1平行于x轴.又l2平行于x轴,且不经过P,Q两点,所以直线l1∥l2. 知识点2　两条直线垂直1.对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔　　　　　. 2.设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0), A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1⊥l2⇔　　　 　　　.  　　　　　　　特别适合解决含参数的两直线垂直求参数的问题　　　　　　k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 名师点睛1.(1)过点(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0;(2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;(3)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=- x+m;(4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0.2.“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在. 过关自诊[人教B版教材习题]求下列过点P且与直线l垂直的直线的方程.(1)P(4,-3),l:x+5y-3=0;(2)P(3,-5),l:x+y=0;(3)P(2,3),l:x+y-2=0.提示 (1)5x-y-23=0.(2)x-y-8=0.(3)x-y+1=0. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　　两条直线平行的判定【例1】 已知两直线l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.解 ∵直线l1:x+my+6=0,直线l2:(m-2)x+3y+2m=0,∴A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m.(1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0,即(m-3)(m+1)≠0, 即m≠3且m≠-1.故当m≠3且m≠-1时,直线l1与l2相交. 规律方法　判断两条直线是否平行的步骤 变式训练1已知两直线l1:9x-y+a+2=0;l2:ax+(a-2)y+1=0.求a为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合. 探究点二　　两条直线垂直的判定【例2】 (1)已知直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值;(3)已知直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值. 解 (1)由题意知直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率k1可能不存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意.当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,(3)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3. 规律方法　判定两直线垂直的步骤(1)一看:就是看每条直线所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则进行下一步.(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断.[注意]若已知点的坐标中含有参数,则利用两直线的垂直关系求参数值时,要注意讨论斜率不存在的情况. 变式训练2(1)(多选题)下列各对直线互相垂直的是(　　)A.l1过点M(1,1),N(1,2),l2过点P(1,5),Q(3,5)D.l1过点M(1,0),N(4,-5),l2过点P(-6,0),Q(-1,3)ABD (2)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值. 探究点三　　两直线平行与垂直的综合应用【例3】 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状. 变式探究将本例改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t)”,其余条件不变,试求顶点R的坐标. 规律方法　1.利用两条直线平行或垂直判定