2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第四章 4.1　指数 学案

4.1 　指数 学习目标 　 1 . 理解 n 次方根及根式的概念 , 掌握根式的性质 . 2 . 学会根式与分数指数幂之间的相互转化 . 3 . 掌握有理数指数幂的运算性质 . 4 . 了解无理数指数幂的意义 . 教材知识梳理 一 n 次方根 1 .a 的 n 次方根的定义 一般地 , 如果 x n = a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 , 其中 n >1, 且 n ∈ N * . 2 .a 的 n 次方根的表示 n 的奇偶性 a 的 n 次方根 的表示符号 a 的取值范围 n 为奇数 a ∈ R n 为偶数 ± [0,+∞) 注意 : 负数没有偶次方根 . 二 n 次根式 1 . 根式 : 式子 叫做根式 , 这里 n 叫做 根指数 , a 叫做被开方数 . 2 . 根式的性质 (1) = 0 ( n ∈ N * , 且 n >1); (2)( ) n = a ( n ∈ N * , 且 n >1); (3) = a ( n 为大于 1 的奇数 ); (4) =| a |= ( n 为大于 1 的偶数 ) . 三 分数指数幂 1 . 规定正数的正分数指数幂的意义是 : = ( a >0, m , n ∈ N * , 且 n >1); 2 . 规定正数的负分数指数幂的意义是 : = = ( a >0, m , n ∈ N * , 且 n >1); 3 . 0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义 . 四 有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质 , 可以推广到有理数指数幂 , 即 1 .a r a s = a r + s ( a >0, r , s ∈ Q); 2 . ( a r ) s = a rs ( a >0, r , s ∈ Q); 3 . ( ab ) r = a r b r ( a >0, b >0, r ∈ Q) . 五 无理数指数幂 一般地 , 无理数指数幂 a α ( a >0, α 是无理数 ) 是一个确定的 实数 . 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 . 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) (1) 若 x n = a , a 的 n 次方根为 x. ( 　 × 　 ) (2) 正数的偶次方根有两个且互为相反数 . ( 　 √ 　 ) (3) =π-4 . ( 　 × 　 ) (4)[( a - b ) 2 = a - b. ( 　 × 　 ) (5)0 的任何指数幂都等于 0 . ( 　 × 　 ) 教材典题变式 【例 1 】 ( 源于 P105 例 1) 计算下列各式的值 : (1) ; (2) ; (3) +( ) 5 ; (4) + . 【详解】 (1) =-4 . (2) =|3-π|=π-3 . (3) 原式 =-2+(-2)=-4 . (4) + =(1+ )+( -1)=2 . 【归纳总结】 　 正确区分 与 ( ) n (1)( ) n 已暗含了 有意义 , 依据 n 的奇偶性可知 a 的范围 ; (2) 中的 a 可以是全体实数 , 的值取决于 n 的奇偶性 . 【例 2 】用根式的形式表示下列各式 ( 其中 x >0, y >0): (1) ; (2) ; (3) . 【详解】 (1) = . (2) = . (3) = · = · . 【例 3 】 ( 源于 P106 例 3) 用分数指数幂的形式表示下列各式 ( 其中 a >0, b >0): (1) a 2 ; (2) ; (3) · ; (4)( ) 2 · . 【详解】 (1) 原式 = a 2 = = . (2) 原式 = = = . (3) 原式 = · = = . (4) 原式 =( ) 2 ·( ab 3 = · · = · = . 【例 4 】 ( 源于 P106 例 4) 计算 ( 式中字母都是正数 ): · . 【详解】 · =[ ·( a -3 ·( · = a 0 · = . 【归纳总结】 　 (1) 根指数化为分数指数幂的分母 , 被开方数 ( 式 ) 的指数化为分数指数幂的分子 . (2) 当根式为多重根式时 , 要清楚哪个是被开方数 , 一般由里向外用分数指数幂依次写出 . (3) 一般在根式运算时 , 需要先将根式化成分数指数幂 , 然后借助分数指数幂的运算性质进行运算 . 教材拓展延伸 【例 5 】 (1) 设 -3< x <3, 求 - 的值 . (2) 若 =3 a -1, 求 a 的取值范围 . 【详解】 (1) 原式 = - =| x -1|-| x +3| . 因为 -3< x <3, 所以当 -3< x <1 时 , 原式 =-( x -1)-( x +3)=-2 x -2; 当 1≤ x <3 时 , 原式 =( x -1)-( x +3)=-4, 所以原式 = (2) 因为 = =|3 a -1|=3 a -1, 所以 3 a -1≥0, 即 a ≥ . 故 a 的取值范围为 [ ,+∞ ) . 【归纳总结】 　 (1) 有条件根式的化简问题 , 是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简 . (2) 有条件根式的化简经常用到配方的方法 . 当根指数为偶数 , 在利用公式化简时 , 要考虑被开方数或被开方的表达式的正负 . 【例 6 】计算 :(1) ( 2 ) -9 . 6 0 - ( 3 ) +1 . 5 -2 ; (2) + +(-8 +8 0 . 25 × . 【详解】 (1) 2 -9 . 6 0 - 3 +1 . 5 -2 = -1- + -2 = -1- + 2 = -1- + = . (2) + +(-8 +8 0 . 25 × = + +(-2) 2 + × = -π+ +4+2=11-π . 【例 7 】已知 + =4, 求下列各式的值 : (1) a + a -1 ; (2) a 2 + a -2 ; (3) a 3 + a -3 . 【详解】 (1) 将 + =4 两边平方 , 得 a + a -1 +2=16, 故 a + a -1 =14 . (2) 将 a + a -1 =14 两边平方 , 得 a 2 + a -2 +2=196, 故 a 2 + a -2 =194 . (3) a 3 + a -3 =( a + a -1 )( a 2 + a -2 -1), 代入 a + a -1 =14 和 a 2 + a -2 =194, 故 a 3 + a -3 =14×(194-1)=2 702 . 【归纳总结】 1 . 求解此类问题应注意分析已知条件 , 通过将已知条件中的式子变形 ( 如平方、因式分解等 ), 寻找已知式和待求式的关系 , 可考虑使用整体代换法 . 2 . 在进行整体代换时常用的一些公式 : (1) 完全平方公式 :( a - b ) 2 = a 2 -2 ab + b 2 ,( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 . (2) 平方差公式 : a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ) . (3) 立方和公式 : a 3 + b 3 =( a + b )( a 2 - ab + b 2 ) . (4) 立方差公式 : a 3 - b 3 =( a - b )( a 2 + ab + b 2 ) .