2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册 球的表面积和体积 作业

同步练习 26 　球的表面积和体积 必备知识基础练 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 45 分 ) 1 ．若球的表面积扩大为原来的 n 倍，则它的半径比原来增加的倍数为 ( 　　 ) A ． － 1 B ． ＋ 1 C ． ＋ 2 D ． 2 ． [2023· 河南洛阳高一期中 ] 若一个长方体的长、宽、高分别为 4 ， ， 2 ，且该长方体的每个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ( 　　 ) A ． 18π B ． 20π C ． 24π D ． 25π 3 ．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则圆锥的高与球的半径之比为 ( 　　 ) A ． 2∶1 B ． 2∶3 C ． 2∶π D ． 2∶5 4 ． [2023· 河北保定高一期末 ] 某圆锥的母线长为 4 ，高为 3 ，则该圆锥外接球的表面积为 ( 　　 ) A ． 16π B ． C ． 24π D ． 5 ． [2023· 河南郑州高一期中 ] 已知圆柱的高为 2 ，侧面积为 4π ，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为 ( 　　 ) A ． B ． C ． 4 π D ． 4 π 6 ． [2023· 山东青岛二中高一期中 ] 已知球 O 1 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球 O 2 ，则球 O 1 与球 O 2 的表面积之比为 ( 　　 ) A ． 2∶3 B ． 3∶2 C ． ∶ D ． ∶ 7 ． [2023· 安徽舒城中学高一期中 ] 打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体．若该正方体的棱长为 a ，半球的半径为 R ，石臼的体积为 a 3 ，则 ＝ ( 　　 ) A.2 B ． 2 C ． D ． 2 8 ． ( 多选 ) 已知某球的表面积为 16π ，则下列说法中正确的是 ( 　　 ) A ．球的半径为 2 B ．球的体积为 10π C ．球的体积为 π D ．球的半径为 1 9 ． ( 多选 ) 已知某正方体的外接球上有一个动点 M ，该正方体的内切球上有一个动点 N ，若线段 MN 的最小值为 － 1 ，则下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．正方体的外接球的表面积为 12π B ．正方体的 内切球的体积为 C ．正方体的棱长为 2 D ．线段 MN 的最大值为 2 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 10 ．已知两个球的表面积之差为 80π ，它们的大圆周长之和为 16π ，则这两个球的半径之差为 ________ ． 11 ． [2023· 河南信阳二中高一期中 ] 已知长方体的表面积为 22 ，过一个顶点的三条棱长之和为 6 ，则该长方体外接球的表面积为 ________ ． 12 ． [2023· 河南濮阳高一期中 ] 如图所示三棱锥 A ­ BCD ，其中 AB ＝ CD ＝ ， AC ＝ BD ＝ ， AD ＝ BC ＝ ，则该三棱锥外接球的表面积为 ________ ． 三、解答题 ( 共 20 分 ) 13 ． (10 分 ) 已知过球面上三点 A ， B ， C 的截面到球心的距离等于球半径的 ，且 AC ＝ 8 ， BC ＝ 6 ， AB ＝ 10 ，求球的表面积与球的体积． 14 ． (10 分 ) 在四棱锥 S ­ ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，且各侧棱长均为 2 ，求该四棱锥外接球的表面积． 关键能力提升练 15 ． (5 分 ) 上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为 ，上、下底面边长分别为 ， 2 ，则该球的体积为 ( 　　 ) A ． B ． C ． 4 π D ． 36π 16.(5 分 ) 已知直三棱柱 ABC ­ A 1 B 1 C 1 的高为 4 ， AB ＝ AC ＝ 2 ， ∠ BAC ＝ 90° ，则该三棱柱的外接球的体积为 ________ ． 17 ． (10 分 )[2023· 安徽马鞍山二中高一期中 ] 如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球 ( 球 A 和球 B ) ，圆柱的底面直径为 2 ＋ ，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 B . (1) 求球 A 的体积； (2) 求圆柱的侧面积与球 B 的表面积之比． 同步练习 26 　球的表面积和体积 必备知识基础练 1 ． 答案： A 解析：设原球的半径为 r ，扩大后为 R ， 则原表面积为 4π r 2 ，扩大 n 倍后变为 4 n π r 2 ， 所以 R ＝ ＝ r ，得 ＝ ， 即半径扩大到原来的 倍，比原来增加了 ( － 1) 倍．故选 A. 2 ．答案： D 解析：由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心 O 为体对角线交点， 半径为体对角线的一半， 即球 O 的半径 r ＝ ＝ ， 则球 O 的表面积 S ＝ 4π r 2 ＝ 25π. 故选 D. 3 ．答案： A 解析：设半球的半径为 r ，圆锥的高为 h ， 因为圆锥和半球体积相等， 则 π r 2 · h ＝ π r 3 · ，所以 h ＝ 2 r ，故 ＝ 2. 故选 A. 4 ．答案： D 解析：设该圆锥外接球的半径为 R ，则 R 2 ＝ (3 － R ) 2 ＋ 4 2 － 3 2 ，解得 R ＝ ， 故该圆锥外接球的表面积 S ＝ 4π R 2 ＝ . 故选 D. 5 ．答案： A 解析：由圆柱侧面积 S ＝ 2π rh ＝ 4π r ＝ 4π ，解得 r ＝ 1 ， 因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上， 所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为 R ， 则由 R ＝ ＝ ＝ ， 所以 V ＝ π R 3 ＝ π·2 ＝ π. 故选 A. 6 ．答案： A 解析：设正方体棱长为 a ， 因为球 O 1 与正方体的各条棱相切，所以球 O 1 的直径大小为正方体的面对角线长度， 即半径 r ＝ a ； 正方体内接于球 O 2 ，则球 O 2 的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径 R ＝