第三章2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算
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课程标准1.了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.4.理解空间两个向量夹角的定义.5.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.
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知识点1 空间向量的定义及相关概念1.定义 任意一个空间向量都包括大小和方向两个要素,有关概念可类比平面向量而得 在空间中,我们把具有 和 的量叫作空间向量,向量的大小叫作向量的 . 2.空间向量及其模的表示方法空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量 ,其模用|a|或 表示. 大小方向长度或模C
3.空间向量的相关概念 名称概念零向量模为0的向量 起点与终点相同的向量相等向量方向 且模 的向量 相反向量方向 且模 的向量 共线向量当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量)共面向量把平行于同一平面的向量叫作共面向量相同相等相反相等
名师点睛1.空间向量有大小和方向,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空间中平移.2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
过关自诊1.空间中任意两个向量共面吗?空间中任意三个向量呢?提示 空间中任意两个向量都是共面的,但空间中任意三个向量不一定共面.
2.[人教A版教材习题]举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.
3.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,E, F分别为棱AA',AB的中点.(1)写出与向量 相等的向量;(2)写出与向量 相反的向量;(3)写出与向量 平行的向量.
知识点2 空间向量的运算
空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算,向量λa的长度和方向满足:(1)|λa|= ; (2)当λ>0时,向量λa与向量a方向 ;当λ<0时,向量λa与向量a方向 ;当λ=0时,λa= 运算律(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)λ(μa)=(λμ)a(3)分配律:(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b)=λa+λb其中λ∈R,μ∈R|λ||a| 相同 相反 0
过关自诊1.涉及空间两个向量的问题,平面向量中的有关结论是否仍然适用?提示 适用.
2.[人教A版教材习题]如图,E,F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB,CD的中点,化简下列表达式,并在图中标出化简结果:
3.[人教A版教材习题]如图,已知在四面体ABCD中, E,F分别是BC,CD的中点.化简下列表达式,并在图中标出化简结果:
知识点3 共线向量基本定理定理:空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空间向量a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.( )(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )××
2.共线向量基本定理中的限制条件是什么?为什么? 提示 共线向量定理中限制条件b≠0,即若b=0,a≠0时,实数λ不存在. 3.[人教A版教材习题]证明:如果向量a,b共线,那么向量2a+b与a共线.提示 由向量a,b共线,若a为零向量,则结论成立;若a为非零向量,则存在实数λ,使b=λa,从而2a+b=(2+λ)a.综上,向量2a+b与a共线.
知识点4 空间向量的夹角 当<a,b>= 时,称向量a与b ,记作a⊥b. 非零 ∠AOB <a,b> [0,π] 垂直
名师点睛对空间两个向量夹角的理解,应注意以下几点:(1)由概念知两个非零向量才有夹角,零向量与其他向量之间不定义夹角,并约定0与任意向量a(a≠0)都垂直.(2)对空间任意两个非零向量a,b,有:①<a,b>=<b,a>=<-a,-b>=<-b,-a>;②<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√ ×
2.空间两个向量夹角定义的要点是什么? 提示 (1)任意两个空间向量都是共面的,故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义是一样的.(2)当作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起.(3)两个空间向量的夹角是唯一的,且<a,b>=<b,a>.
知识点5 空间向量的数量积已知两个空间向量a,b,把|a||b|cos<a,b>叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>. 规定零向量与任意向量的数量积为0与平面向量类似,空间向量的数量积也是一个实数,容易得到以下结论:(1)cos<a,b>= (a≠0,b≠0); 求向量夹角 求向量长度(3)a⊥b⇔a·b=0. 垂直的判断方法与平面向量类似,空间向量的数量积运算也满足如下运算律:(1)交换律:a·b=b·a;(2)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;(3)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).
过关自诊 1.[人教A版教材习题]如图,已知四面体ABCD的所有棱长都等于m,E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点.求:
2.[人教A版教材习题]如图,在正三棱柱AB
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 2.1从平面向量到空间向量2.2空间向量的运算 课件
