2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.2　立体图形的直观图（学案）

8.2 　 立体图形的直观图 新课程标准解读 核心素养 能用斜二测画法画出简单空间图形 （长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体） 的直观图 直观想象、数学抽象 　　 图中的国家游泳中心（又称 “ 水立方 ” ）可以抽象成一个几何体 —— 长方体 . 问题 　 你能画出一个长方体吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 水平放置的平面图形的直观图的画法 1 . 直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形 . 2 . 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 提醒 　 对斜二测画法的再理解 ： ①“ 斜 ” ：把直角坐标系 xOy 变为斜坐标系 x'O'y' ，使 ∠ x'O'y' ＝ 45 ° （或 135 ° ），即 y' 轴是斜的，反映投影线是斜的； ②“ 二测 ” ：平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来的一半，即有 “ 两种测度 ” . 知识点二　空间几何体直观图的画法 1 . 画轴 ： 与平面图形的直观图画法相比多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z' 轴 . 2 . 画底面 ： 平面 x'O'y' 表示水平平面，平面 y'O'z' 和 x'O'z' 表示竖直平面 . 3 . 画侧棱 ： 已知图形中平行于 z 轴（ 或在 z 轴上 ）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变 . 4 . 成图 ： 去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线 . 提醒 　 画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感 . 1. 用斜二测画法画水平放置的 △ ABC 时，若角 A 的两边分别平行于 x 轴， y 轴，则在直观图中角 A' ＝ （ 　　 ） A.45 ° B.135 ° C.45 ° 或 135 ° D.90 ° 解析： C 　 在画直观图时，角 A' 的两边依然分别平行于 x' 轴， y' 轴，则 ∠ x'O'y' ＝ 45 ° 或 135 ° . 故选 C. 2. 利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，正确的是（ 　　 ） 解析： C 　 正方形的直观图应为平行四边形，且相邻两边的边长之比为 2 ∶ 1. 3. 水平放置的 △ ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 A'C' ＝ 3 ， B'C' ＝ 2 ，则 AB 边上的中线的实际长度为 　 　　　　 .   解析： 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且 AC ＝ A'C' ＝ 3 ， BC ＝ 2 B'C' ＝ 4 ，计算得 AB ＝ 5 ，所求中线长为 . 答案： 题型一 平面图形的直观图的画法 【例 1 】 　 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图 . 解 　 画法：（ 1 ）如图 ① 所示，取 AB 所在直线为 x 轴， AB 的垂直平分线 OE 为 y 轴，两轴交点 O 为原点，建立直角坐标系，在图 ② 中画对应的坐标系 x'O'y' ，使 ∠ x'O'y' ＝ 45 ° . （ 2 ）在图 ② 中，以 O' 为中点在 x' 轴上取 A'B' ＝ AB ，在 y 轴上取 O'E' ＝ OE ，以 E' 为中点画 C'D' ∥ x' 轴，并使 C'D' ＝ CD . （ 3 ）连接 B'C' ， D'A' ，并擦去辅助线 x' 轴和 y' 轴，所得的四边形 A'B'C'D' 就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图，如图 ③ 所示 . 通性通法 画平面图形的直观图的技巧 （ 1 ）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （ 2 ）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段 . 用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形（如图）的直观图 . 解： （ 1 ）如图 ① 所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 . （ 2 ）画对应的 x' 轴、 y' 轴，使 ∠ x'O'y' ＝ 45 ° . 在 x' 轴上截取 O'B' ＝ O'C' ＝ 2 cm ，在 y' 轴上截取 O'A' ＝ OA . （ 3 ）连接 A'B' ， A'C' ，则 △ A'B'C' 即为正 △ ABC 的直观图，如图 ② 所示 . 题型二 空间几何体的直观图的画法 【例 2 】 　 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm 、 3 cm 、 2 cm 的长方体 ABCD - A'B'C'D' 的直观图 . 解 　 （ 1 ）画轴 . 如图，画 x 轴， y 轴， z 轴，三轴相交于点 O ，使 ∠ xOy ＝ 45 ° ， ∠ xOz ＝ 90 ° . （ 2 ）画底面 . 以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN ，使 MN ＝ 4 cm ；在 y 轴上取线段 PQ ，使 PQ ＝ cm. 分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A ， B ， C ， D ，则 ▱ ABCD 就是长方体的底面 ABCD 的直观图 . （ 3 ）画侧棱 . 过 A ， B ， C ， D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA' ， BB' ， CC' ， DD' . （ 4 ）成图 . 顺次连接 A' ， B' ， C' ， D' ，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图 . 通性通法 画空间图形的直观图的原则 （ 1 ）首先在原几何体上建立空间直角坐标系 Oxyz ，并且把它们画成对应的 x' 轴与 y' 轴，两轴交于点 O' ，且使 ∠ x'O'y' ＝ 45 ° （或 135 ° ），它们确定的平面表示水平面，再作 z' 轴与平面 x'O'y' 垂直； （ 2 ）作空间图形的