第二章 导数及其应用
章末整合提升
要点一导数的几何意义典例15x－y＋2＝0
[提醒] 切点坐标满足三个等量关系：设切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.
要点二函数的单调性与导数 已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax－1.(1)若a＝0，求f(x)的极值；(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝(x－1)ex－1，f′(x)＝xex，令f′(x)＝0，则x＝0，又因为当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以当x＝0时，f(x)极小值＝f(0)＝－2，无极大值．典例2
(2)因为f(x)＝(x－1)ex＋ax－1，所以f′(x)＝xex＋a，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，即－a≤xex在R上恒成立，令g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，
[规律方法] 1.求函数y＝f(x)单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域．(2)求导数y′＝f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，函数在单调区间上为增函数；解不等式f′(x)<0，函数在单调区间上为减函数．
2．知单调性求参数范围的步骤(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．[提醒] 若f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
要点三函数的极值、最值与导数 (2022·新高考Ⅰ卷节选) 已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值，求a.[解析] f(x)＝ex－ax的定义域为R，而f′(x)＝ex－a，若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，典例3
[规律方法] 1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
[提醒] 当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值， 这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
要点四利用函数的导数求参数的取值范围典例4
[规律方法] 利用函数的导数求参数范围有三种思路：一是分析所给区间和单调区间的关系；二是转化为恒成立问题；三是分离参数求解.
要点五利用导数证明不等式 (2023·新高考Ⅱ卷)证明：当0<x<1时，x－x2<sin x<x.[证明] 构建F(x)＝x－sin x，x∈(0,1)，则F′(x)＝1－cos x>0对∀x∈(0,1)恒成立，则F(x)在(0,1)上单调递增，可得F(x)>F(0)＝0，所以x>sin x，x∈(0,1)；构建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)，则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，典例5
构建g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，则g′(x)＝2－sin x>0对∀x∈(0,1)恒成立，则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)＝0，即G′(x)>0对∀x∈(0,1)恒成立，则G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(0)＝0，所以sin x>x－x2，x∈(0,1)；综上所述：x－x2<sin x<x.
[规律方法] 利用导数证明不等式问题时，一般根据要证明的不等式构造函数，转化为函数的最值问题．具体的证明步骤为：①将所给的不等式移项、整理、变形为求证不等式f(x)＞0(＜0)的形式；②利用导数研究函数在给定区间上的单调性，得到函数的最值；③将不等式问题转化为函数的最值恒大于0或者小于0的问题．
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 第2章导数及其应用章末整合提升 课件
