2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 数学归纳法 课件

必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向 素养目标•定方向 1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养. 必备知识•探新知 数学归纳法 知识点 一般地,证明某些与正整数n有关的数学命题,可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_______(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)(归纳递推)假设当_________________________时命题成立，证明当_____________时，命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．[提醒]　在第二个步骤证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n＝k时命题成立”这一条件．n0n＝k(k∈N＋，k≥n0)n＝k＋1 想一想：1．验证的第一个值n0一定是1吗？2．在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法． 练一练：1．用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　)A．2 B．3 C．4 D．5[解析]　显然当n＝1时，21>12，而当n＝2时，22＝22，A错误；当n＝3时，23<32，B错误；当n＝4时，24＝42，C错误；当n＝5时，25>52，符合要求，D正确．D (2k＋1)＋(2k＋2) 关键能力•攻重难 题|型|探|究　　　　　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋.[证明]　①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，题型一用数学归纳法证明等式典例 1 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据①和②可知等式对任何n∈N＋都成立． [规律方法]　用数学归纳法证明等式的规则(1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法． 对点训练❶ 则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时等式成立．由①②可得，对于任意的n∈N*