2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案

7 ． 1.1 　数系的扩充和复数的概念 课程标准 1. 了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程． 2 ．理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些 基本概念． 3 ．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点一　复数的有关概念 1 ．复数的定义 形如 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的数叫做复数，其中 i ❶ 叫做 ________ ，满足 i 2 ＝ ________ ． 2 ．复数集 全体复数所构成的集合 C ＝ { a ＋ b i| a ， b ∈ R } 叫做复数集 ❷ . 3 ． 复数的表示方法 复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，其中 a 叫做复数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部． ❸ 要点二　复数相等的充要条件 ❹ 在复数集 C ＝ { a ＋ b i| a ， b ∈ R } 中任取两个数 a ＋ b i ， c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R ) ，我们规定： a ＋ b i 与 c ＋ d i 相等当且仅当 __________ ． 要点三　复数的分类 1 ．复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 2 ．复数集 、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 助 学 批 注 批注 ❶ 　 i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． 批注 ❷ 　复数集是最大的数集，任何一个数都可 写成 a ＋ bi(a ， b∈R) 的形式，其中 0 ＝ 0 ＋ 0i. 批注 ❸ 　复数 a ＋ bi 的实部、虚部不一定是 a 、 b ，只有当 a∈R ， b∈R 时， a 、 b 才是该复数的实 部、虚部． 批注 ❹ 　 (1) 应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) 的形式，即分离实部和虚部． (2) 只有当 a ＝ c 且 b ＝ d 的时候才有 a ＋ bi ＝ c ＋ di ， a ＝ c 和 b ＝ d 有一个不成立时，就有 a ＋ bi≠c ＋ di. (3) 由 a ＋ bi ＝ 0 ， a ， b∈R ，可得 a ＝ 0 且 b ＝ 0. 夯 实 双 基　 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 若 a ， b 为实数，则 z ＝ a ＋ b i 为虚数． ( 　　 ) (2) 复数 i 的实部不存在，虚部为 0.( 　　 ) (3) b i 是纯虚数． ( 　　 ) (4) 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 ，那么这两个复数相等． ( 　　 ) 2 ．复数 z ＝ 2 － i 的虚部是 ( 　　 ) A ． 1 　　　 B ．－ 1 　　　 C ． 2 　　　 D ．－ 2 3 ．设 x ＋ 2i ＝ 1 － y i(i 是虚数单位， x ∈ R ， y ∈ R ) ，若复数 z ＝ x ＋ y i ，则 z 为 ( 　　 ) A ． z ＝ 1 － 2i B ． z ＝ 1 ＋ 2i C ． z ＝－ 1 ＋ 2i D ． z ＝ 2 － 2i 4 ．在下列数中，属于虚数的是 ________ ，属于纯虚数的是 ________ ． 0 ， 1 ＋ i ， πi ， ＋ 2i ， i ， i. 题型探究·课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　复数的概念 例 1 　 ( 多选 ) [2022· 辽宁同泽高一期中 ] 有下面四个命题，真命题的是 ( 　　 ) A ． 1 ＋ i 2 ＝ 0 B ．若 a ， b ∈ R ，且 a > b ，则 a ＋ i> b ＋ i C ． x 2 ＋ y 2 ＝ 0 ，则 x ＝ y ＝ 0 D ．两个虚数不能比较大小 题后师说 判断与复数概念有关的命题真假的注意点 正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系． 巩固训练 1 　 下列说法正确的是 ( 　　 ) A ． i 表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B ．－ 1 的平方根是 ±i C ． b i( b ∈ R ) 是纯虚数 D ．若 z ＝ a ( a ∈ R ) ，则复数 z 没有虚部 题型 2 　复数的分类 例 2 　实数 x 分别取什么值时，复数 z ＝ ＋ ( x 2 － 2 x － 15)i 是 ① 实数？ ② 虚数？ ③ 纯虚数？ 题后师说 利用复数的分类求参数的策略 巩固训练 2 　 [2022· 山东青岛高一期末 ] 已知 i 是虚数单位，复数 z ＝ ( x 2 － 4) ＋ ( x ＋ 2)i 是纯虚数，则实数 x 的值为 ( 　　 ) A ． 2 B ．－ 2 C ． ±2 D ． 4 题型 3 　复数相等 例 3 　复数 z 1 ＝ (2 m ＋ 7) ＋ ( m 2 － 2)i ， z 2 ＝ ( m 2 － 8) ＋ (4 m ＋ 3)i ， m ∈ R ，若 z 1 ＝ z 2 ，求 m . 题后师说 解决复数相等问题的一般步骤 巩固训练 3 　 [2022· 广东江门高一期末 ] 实数 x ， y 满足条件： ( x ＋ y ) ＋ ( y － 1)i ＝ y ＋ (2 y ＋ 1)i ， ( 其中 i 为虚数单位 ) ，则 x ＋ y ＝ ( 　　 ) A ．－ 2 B ． 2 C ． 3 D ．－ 3 7 ． 1.1 　数系的扩充和复数的概念 新知初探 · 课前预习 [ 教材要点 ] 要点一 1 ．虚数单位　－ 1 要点二 　 a ＝ c 且 b ＝ d 要点三 1 ．实数　虚数　 a ＝ 0 　 a ≠0 [ 夯实双基 ] 1 ． 答案： (1)× 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 2 ． 解析： 复数 z ＝ 2 － i 的虚部是－ 1 ，故选 B. 答案： B 3 ． 解析： 因为 x ＋ 2i ＝ 1 － y i(i 是虚数单位， x ∈ R ， y ∈ R ) ， 所以 x ＝ 1 ， y ＝－ 2 ，所以 z ＝ 1 － 2i. 故选 A. 答案： A 4 ． 解析： 根据虚数的概念知： 1 ＋ i ， πi ， ＋ 2i ， i ， i 都是虚数；由纯虚数的概念知： πi ， i 是纯虚数． 答案： 1 ＋ i ， πi ， ＋ 2i ， i ， i 　 πi ， i 题型探究 · 课堂解透 例 1 　 解析： 对于 A ，因为 i 2 ＝－ 1 ，所以 1