新课程标准解读核心素养1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系数学抽象、直观想象2．能利用导数研究函数的单调性逻辑推理、数学运算3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间数学运算
目录CONTENTS01读教材·知识梳理0302研题型·典例精析扣课标·素养提升
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底).从股票走势曲线图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性．
1．如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调性如何？提示：函数y＝f(x)在这个区间上是常数函数，不具有单调性．2．在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
3．函数图象的变化趋势与导数值大小有何关系？提示：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的较快，其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线斜率的绝对值越大，函数f(x)的变化率就越大．
1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上 ( )A．是增函数B．是减函数C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增解析：因为f′(x)＝2－cos x>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．A
C
C
|通性通法|对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图象．
C
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 ( )D
|通性通法|通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢．
C
2．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数图象如图所示，则y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是 ( )解析：两个导函数的图象在x轴上方说明两个函数都是增函数，y＝f′(x)的函数值由小到大，说明y＝f(x)的图象越来越“陡峭”，y＝g′(x)的函数值由大到小，说明y＝g(x)的图象越来越“平缓”．故选B.B
|通性通法|求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)，并写出解集；(4)结合函数f(x)的定义域，根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
角度二 含参数的函数求单调区间【例4】 已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.讨论f(x)的单调性．解 f′(x)＝xe x－2ax＝x(ex－2a)，①当a≤0时，令f′(x)＝0⇒x＝0，且当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
题型三 已知函数的单调性求参数的范围【例5】 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是__________．[1，＋∞)
1．(变设问)本例条件不变，若函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围．
2．(变条件，变设问)若本例中的函数“f(x)＝kx－ln x”换为“f(x)＝x2＋a ln (x＋1)(a为常数)”．若函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
3．(变条件)若将本例中条件“单调递增”改为“不单调”，求k的取值范围．
|通性通法|1．利用导数求参数范围的基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
已知函数y＝x3－ax＋b.(1)若函数y在(1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围；解：y′＝3x2－a.若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上是增函数，则y′＝3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，则a≤(3x2)min.因为x>1，所以3x2>3，所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3].
1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为 ( )解析：由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1，4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1，4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.C
2．若函数f(x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为 ( )A．[－1，＋∞) B
2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 6.2.1 导数与函数的单调性 课件
