第一章 集合与常用逻辑用语1.4.2 充要条件高中数学/人教A版/必修一
知识篇素养篇思维篇1.4.2 充要条件
知识回顾 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件吗？(2)若m>2,则m>3;(1)若x=-1，则x2=1; p是q的必要条件吗？(3)若a2=b2,则=.
p:a2=b2, 则q:= p q q p 充要条件1 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的 充 要 条 件 p q表示p q, 且q p 充要条件有时可以改用“当且仅当”来表示
p与q的逻辑关系2思考条件p与条件q之间有几种不同的逻辑关系？①若p q ，且qp ，则p是q的充分不必要条件； ②若p q ，且qp ，则p是q的必要不充分条件； ④若p q ，且qp ，则p是q的充要条件. ③若p q ，且qp ，则p是q的即不充分也不必要条件；
练一练1.在下列电路图中,开关A闭合是灯泡B亮的什么条件:⑴如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____ _____条件;⑵如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____ _____条件;⑶如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____ _____条件;⑷如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____ _____条件.
充分不必要必要不充分 充 要既不充分也不必要
1) p：同位角相等； q：两直线平行2) p：两个角是对顶角； q：两个角相等3) p：两个三角形周长相等； q：两个三角形面积相等4) p：两个三棱锥底面积相等； q：两个三棱锥体积相等2.下列各小题中，p是q的什么条件？练一练
概括归纳 已知 p：x∈A； q：x∈B 若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；若B⫋A，则p是q的必要不充分条件；若A=B， 则p是q的充要条件；若A⊉B ，且B⊉A, 则p是q的既不充分也不必要条件.ABxBA
练一练1.下列各小题中，p是q的什么条件？(1) p：=2； q：x=3(2) p：x∈A={x|1≤x≤3}； q：x∈B={x|-1≤x≤4}(3) p：M∈{(x，y)|+≤1}； q：N∈{(x，y)|x2+y2≤1} 提示：先将符号语言翻译成图形语言，再将图形语言对应成逻辑语言.
2.使不等式 |a|<3 成立的一个必要不充分条件是( ) A. a<3 B. |a|<2 C. a2<9 D. 0<a<4练一练提示： 在数轴上，-3<a<3是所选项的子集.
知识篇素养篇思维篇1.4.2 充要条件
（一）充要条件的判断示例方法核心素养 之 数学建模 + 逻辑推理分析充要条件判断的两个方面：(1)p q ？ (2) q p ？ “a<0”是“ax2+1=0至少有一个负根”的（ ）. A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要 D.不充分不必要一方面：a<0时，由ax2+1=0得, 有一个负根；另一方面：由“ax2+1=0至少有一个负根”知，a=<0. 故选A.
对应练习： 若a, b∈R，则“a3>b3”是“a>b”成立的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要 D.不充分不必要 (预备知识：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))
示例方法核心素养 之 数学建模 + 逻辑推理分析充要条件证明方式一：(1)先证充分性; (2)再证必要性.先证充分性：设原方程有两根x1,x2, x1<0<x2, 由韦达定理得x1x2=;由x1<0<x2, 得x1x2= ＜０，即ac<0；再证必要性：由ac<0知 ＜０，又由韦达定理知x1x2=，所以x1x2<0,即x1、x2一正一负. 求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. （二）充要条件的证明
对应练习：若a, b∈R，求证：“a>b”是“a>b”的充要条件. 提示： 无论证充分性还是必要性，都要针对a,b的正负情况进行分类证明.
示例方法核心素养 之 逻辑推理分析充要条件证明方式二：对条件进行等价变形.若a, b, x, y∈R，求证：的充要条件是. 注意每一步的变形都必需是等价的！表示“等价于”，即充要的意思 （二）充要条件的证明
对应练习：已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0 (预备知识：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
知识篇素养篇思维篇1.4.2 充要条件
充要条件的应用问题数学思想 之 函数与方程思想＋数形结合分析１．已知关于x的方程x2+６x+k=0有两个不相等的负实数根， 求参数ｋ的取值范围. 从数的角度看：方程x2+6x+k=0有两个不相等的负实数根的充要条件是：判别式为正、两根之和为负且两根之积为正，易得0<k<9.从形的角度看：函数y=x2+6x+k图像与x轴负半轴有两个交点，充要条件是：对称轴在y轴左侧，顶点在x轴下方，与y轴交点在x轴上方．可求得0<k<9方法等价变形的过程，可以是将自然语言翻译成符号语言，也可以是将自然语言翻译成图形语言，再翻译成符号语言．
对应练习：求关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件.提示： 数的角度：x1-1<0, 且x2-1>0（前提是判别式为正） 形的角度：函数y=x2+(2m-1)x+m2图像与x轴两个交点位于x=1异侧
充要条件的应用问题数学思想 之 函数与方程思想＋分类讨论分析2．求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的所有根的和为2的
2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 1.4 充分条件与必要条件（第二课时） (课件)
