2023-2024学年北师大版选择性高中数学必修第二册 实际问题中导数的意义 课件

实际问题中导数的意义 在生活中，人们经常会遇到最优化的问题.例如，在铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少？在制作容器时，怎样使得用料最少？在经济活动中，怎样使得经营成本最小？等等。这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都成为最优化问题.因为利用导数可以求得最值.所以可以利用导数来求解最优化问题，下面我们举例说明． 01.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．会求函数在闭区间上函数的最值以及与函数最值有关的参数问题，培养学生的数学运算、逻辑推理以及空间想象能力。 问题1. 如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？情景与问题 探究1.分别计算下列两种算法的铺设成本，然后尝试给出最优的铺设方案（1）先沿AC铺设，再沿CB铺设；（2）直接沿着线段AB铺设.尝试与发现 如果先沿AC铺设，再沿CB铺设，则成本为万元.又因为所以直接沿线段AB铺设,成本为 2×50=100万元，如图所示，在岸上取一点D，设计其距离C的距离为则, 1.6  记先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为万元，则1.6 因此,当 时,令可解得因此可知在上递减，在上递增，从而在时取得最小值，而且最小值为1.6 最少花费是96万元.  例1.如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km,现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路,现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为130km，快艇时速为50km。试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？ 解：设点C与点B的距离为km,运输时间为T()小时，则因为因此令可解得，因此可知在上递减,在上递增,从而在最小值.这就是说，点C选在离点B点为时可使运输时间最短..  例2. 如图所示，先有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，然后做成一个长方形的五盖容器，则容器的容积V m3 立方是结下的小正方形变成x m的函数，(1)写出函数解析式，(2)为了使容器的容积最大截距的小正方形，边长应为多少？分析:当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小；反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大。但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值。 解：（1）根据题意可知，容器底面的边长为1.2m，高为m ，于是又因为显然的长度必须小于原有正方形铁板的一半，因此所以.（2）由题意有令因此可知在上递增,在上递减,从而在取得极大值，而且在此时取得最大值.即截去的正方形边长为m时，容器的容积最大。.  例3. 某种退烧药能够降低的温度R是血液中该药含量M的函数，而且其中C是一个常数，试求这种退烧药在血液中的含量M为多少时，能够降低的温度最大。  解：因为 因此可知在上递增,在上递减,从而V在时取得极大值，而且此时取得最大值.  例4. 已知某型号手机总成本C元是产量Q万件的函数，且 将Q看成能取区间内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低?最低平均成本为多少？  解：记平均成本为元，则=因为可解得因此可知在上递减,在，从而在 Q=10时取得极小值，而且在此事取得最小值= 及当月产量为10万件，是每件产品的平均成本最低最低为400元.  利用导数求解最优化问题根据题目条件建立函数模型，然后利用导数研究函数模型的性质，最后回归实际问题忽略实际问题中的变量的实际意义，或忽略函数本身变量的意义 核心知识方法总结易错提醒核心素养培养学生的数学运算、数学建模的核心素养。 2 －2 7.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16解析:选A 由f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)=0,得x=-1或x=2.因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,所以f(2)<f(3)<f(0),所以f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15.A A 10.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m∈R)在区间[-2,2]上有最大值3,求它在[-2,2]上的最小值.【解析】'(x)=6x2-12x=6x(x-2),在(-2,2)上,只有x=0是f(x)的极值点,且为极大值点,∴f(x)极大值=f(0)=m.又f(-2)=-16-24+m=m-40,f(2)=16-24+m=m-8.容易判断m-40<m-8<m,∴m=3,∴f(x)min=m-40=-37,即最小值是-37.