新课程标准解读核心素养能够利用导数解决简单的实际问题数学建模、数学运算
目录CONTENTS0201研题型·典例精析扣课标·素养提升
题型一 几何中的最值问题【例1】 (链接教科书例2)有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
|通性通法|1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．2．几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
题型二 用料、费用最少问题【例2】 某地需要修建一条大型输油管道，其通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成关于x的函数；
|通性通法|用料、费用最少问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
|通性通法|1．经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．2．关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( )A．10 B．15C．25 D．50C
2．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出) ( )A．30 元 B．60 元C．28 000 元 D．23 000 元解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．D
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
C
2．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 ( )A．6 m B．8 mC．4 m D．2 mC
A
A
5．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为 ( )A．25 km/h B．20 km/hC．15 km/h D．30 km/hB
A
7．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时，底面边长为________．
25
40
D
14．用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为 30 cm)，要求长方体的长与宽之比为3∶2，则该长方体最大体积是 ( )A．24 cm3 B．15 cm3 C．12 cm3 D．6 cm3B
15．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图， 圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所 在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的 垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化． 设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度). (1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
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2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 6.3 利用导数解决实际问题 课件
