2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学案

6 ． 3.5 　平面向量数量积的坐标表示 课程标准 1. 掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算． 2 ．会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角 等相关问题． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点　平面向量数量积的坐标表示 1 ．平面向量数量积的坐标表示： 设向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ， a 与 b 的夹角为 θ . 数量积 a · b ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ❶ 向量垂直 a ⊥ b ⇔ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 ❷ 2. 向量模的公式：设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ，则 | a | ＝ ________ ． 3 ．两点间的距离公式：若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 | | ＝ . 4 ．向量的夹角公式：设两非零向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ， a 与 b 夹角为 θ ，则 cos θ ＝ ＝ ________ ． 助 学 批 注 批注 ❶ 　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 批注 ❷ 　这个结论与 a→∥b→⇔x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 不能混淆．垂直则是从数量积的角度理解，若 ⊥ ，则 cos θ ＝ 0(θ 为向量 与 的夹角 ) ， · ＝ 0 ，即 x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0. 夯 实 双 基　 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 向量的模等于向量坐标的平方和． ( 　　 ) (2) 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ⊥ b ⇔ x 1 x 2 － y 1 y 2 ＝ 0.( 　　 ) (3) 若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ <0 ，则两向量的夹角 θ 一定是钝角． ( 　　 ) (4) 若 a · b >0 ，则 a ， b 的夹角为锐角． ( 　　 ) 2 ．已知 a ＝ ( － 3 ， 4) ， b ＝ (5 ， 2) ，则 a · b 的值是 ( 　　 ) A ． 23 　　　 B ． 7 C ．－ 23 　　 D ．－ 7 3 ．已知 a ＝ ( － 2 ， 1) ， b ＝ ( x ，－ 2) ，且 a ⊥ b ，则 x 的值为 ( 　　 ) A. － 1 　　 B ． 0 C ． 1 　　　 D ． 2 4 ．已知 a ＝ (1, ) ， b ＝ ( － 2 ， 0) ，则 | a ＋ b | ＝ ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 平面向量数量积的坐标运算 例 1 　 (1) [2022· 湖南永州高一期末 ] 已知 a ＝ (1 ，－ 1) ， b ＝ (2 ， 4) ，则 a ·( a ＋ b ) ＝ ( 　　 ) A ．－ 1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 (2) [2022· 河北保定高一期末 ] 在 △ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 3 ， BC ＝ 6 ，且存在 D ， E 满足 ＝－ 2 ， ＝－ 2 ， 则 · ＝ ( 　　 ) A ．－ 21 B ．－ 20 C ．－ 18 D ．－ 16 题后师说 平面向量数量积的坐标运算的策略 巩固训练 1 　 (1) 已知 a ＝ (2 ，－ 1) ， b ＝ (1 ，－ 1) ，则 ( a ＋ 2 b ) · ( a － 3 b ) ＝ ( 　　 ) A ． 10 　　　 　 B ．－ 10 C ． 3 D ．－ 3 (2) [2022· 北京丰台高一期末 ] 如图，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ∠ BAD ＝ ， AD ＝ 2 ，若 E 为 BC 的中点，则 · ＝ ( 　　 ) A ． 1 　　　 B ． C ． 2 　　　 D ． 4 题型 2 　平面向量的模的问题 例 2 　已知平面向量 a ＝ (3 ， 5) ， b ＝ ( － 2 ， 1) ． (1) 求 a － 2 b 及其模的大小； (2) 若 c ＝ a － ( a · b ) b ，求 | c |. 题后师说 求向量 a ＝ ( x ， y ) 的模的方法 求模问题一般转化为求模的平方，即求 a 2 ＝ | a | 2 ＝ x 2 ＋ y 2 ，求模时，勿忘记开方． 巩固训练 2 　 (1) [2022· 河北石家庄高一期末 ] 平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ， a ＝ (3 ， 0) ， ＝ 1 ，则 ＝ ( 　　 ) A ． 2 B ． C ． 4 D ． 5 (2) [2022· 江苏连云港高一期末 ] 已知向量 a ， b 满足 ＝ 1 ， ＝ ， a － b ＝ ( ，－ 1) ．求 . 题型 3 　平面向量的夹角、垂直问题 例 3 　 [2022· 湖北襄阳高一期末 ] 已知 a ＝ (1 ， 2) ， b ＝ (1 ，－ 1) ． (1) 若 2 a ＋ b 与 k a － b 垂直，求 k 的值； (2) 若 θ 为 2 a ＋ b 与 a － b 的夹角，求 θ 的值． 题后师说 解决向量夹角问题的方法及注意事项 1 ． 求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积 a · b 及 | a || b | ，再由 cos θ ＝ ＝ ，直接求出 cos θ . 2 ．注意事项：利用三角函数值 cos θ 求 θ 的值时，应注意角 θ 的取值范围是 0° ≤ θ ≤ 180°. 利用 cos θ ＝ 判断 θ 的值时，要注意 cos θ <0 时，有两种情况：一是 θ 是钝角，二是 θ 为 180° ； cos θ >0 时，也有两种情况：一是 θ 是锐角，二是 θ 为 0°. 巩固训练 3 　 (1) [2022· 山东菏泽高一期末 ] 已知向量 a ＝ ( － 1 ， 2) ， b ＝ (2 ， m ) ，若 a ⊥ b ，则 m ＝ ( 　　 ) A ．－ 1 B ． 1 C ．－ D ． (2) [2022· 广东广州高一期末 ] 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ 1 ， b ＝ (1 ， ) ，且 a · b ＝ 1 ，则 a 与 a ＋ b 夹角的余弦值为 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． 6 ． 3.5 　平面向量数量积的坐标表示 新知初探 · 课前预习 [ 教材要点 ] 要点 2. 4. [ 夯实双基 ] 1 ． 答案： (1)× 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)× 2 ． 解析： 由数量积的计算公式得 a · b ＝ ( － 3 ，