2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课件

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 课程标准1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．2．会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角等相关问题． 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教材要点要点　平面向量数量积的坐标表示1．平面向量数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________．3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cos θ＝＝__________________． 数量积a·b＝x1x2＋y1y2❶向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0❷   助学批注批注❶　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 批注❷　这个结论与∥⇔x1y2－x2y1＝0不能混淆．垂直则是从数量积的角度理解，若⊥，则cos θ＝0(θ为向量与的夹角)， ·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.  夯 实 双 基　1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0.(　　)(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　)(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．(　　)×××× 2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是(　　)A．23　　　B．7 C．－23　　D．－7答案：D解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7. 3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为(　　)A.－1　　 B．0 C．1　　　 D．2答案：A解析：由题意得a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1. 4．已知a＝(1, )，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________． 2解析：因为a＋b＝(－1, )，所以|a＋b|＝＝2.  题型探究·课堂解透 题型 1 平面向量数量积的坐标运算例1　(1)[2022·湖南永州高一期末]已知a＝(1，－1)，b＝(2，4)，则a·(a＋b)＝(　　)A．－1 B．0C．1 D．2答案：B解析：因为a＝(1，－1)，b＝(2，4)，所以a＋b＝(1，－1)＋(2，4)＝(3，3), 所以a·(a＋b)＝3×1＋3×(－1)＝0.故选B. (2)[2022·河北保定高一期末]在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，且存在D，E满足＝－2，＝－2，则·＝(　　)A．－21 B．－20C．－18 D．－16 答案：A解析：记BC的中点为O，因为AB＝AC，所以AO⊥BC.因为AB＝3，BC＝6，所以AO＝6.因为＝－2＝－2，所以D为线段AB上靠近点B的三等分点，E是线段AC上靠近点A的三等分点．建立如图所示的直角坐标系，由题意可得B(－3，0)，C(3，0)，A(0，6)，D(－2，2)，E(1，4)，则＝(3，2)，＝(－3，－6)，故·＝－21.故选A.  题后师说平面向量数量积的坐标运算的策略 巩固训练1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)A．10　　　 　B．－10C．3 D．－3解析：因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.故选B.答案：B (2)[2022·北京丰台高一期末]如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝，AD＝2，若E为BC的中点，则·＝(　　)A．1　　　B． C．2　　　D．4 答案：C解析：如图建立平面直角坐标系，令AB＝2m，CD＝2n，则B(2m，0)，D(0，2)，C(2n，2)，所以E(m＋n，1)，所以＝(0，2)，＝(m＋n，1)，所以·＝0×(m＋n)＋1×2＝2，故选C.  题型 2　平面向量的模的问题例2　已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.解析：(1)∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)，∴|a－2b|＝＝.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1，6)，∴|c|＝＝.  题后师说求向量a＝(x，y)的模的方法求模问题一般转化为求模的平方，即求a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． 巩固训练2　(1)[2022·河北石家庄高一期末]平面向量a与b的夹角为60°，a＝(3，0)，＝1，则＝(　　)A．2 B．C．4 D．5 答案：B解析：由已知可得＝＝3，由平面向量数量积的定义可得a·b＝·cos 30°＝，因此，＝＝＝＝.故选B.  (2)[2022·江苏连云港高一期末]已知向量a，b满足＝1，＝，a－b＝(，－1)．求.  解析：由a－b＝(，－1)，得＝2，故2＋2－2a·b＝4，代入＝1，＝，得a·b＝0，由2＝2＋2＋2a·b＝4，得＝2.  题型 3　平面向量的夹角、垂直问题例3　[2022·湖北襄阳高一期末]已知a＝(1，2)，b＝(1，－1)．(1)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值；(2)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值． 解析：(1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3，3)，ka－b＝(k－1，2k＋1)，依题意，(2a＋b)·(ka－b)＝3(k－1)＋3(2k＋1)＝9k＝0，解得k＝0，所以k＝0.(2)由(1)知，2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，则|2a＋b|＝＝3，|a－b|＝3，因此cos θ＝＝＝，而θ∈，所以θ＝.  题后师说解决向量夹角问题的方法及注意事项1．求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a·b及|a||b|，再由cos θ＝＝，直接求出cos θ.2．注