2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 复数探究课代数基本定理 课件

知识提炼01 1．代数基本定理任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0至少有一个复数根．它说的是：任何一元n次复系数多项式f (x)在复数集中有n个复数根(重根按重数计)． 2．一元多项式方程的根与系数之间的关系(1)设实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，则  3．设实数系一元三次方程a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)　①在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到，方程①可变形为a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，展开得a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0．　②比较①②可以得到  典例探究02 【典例】　(1)(多选)(2022·浙江金华一中期中)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝(　　)A．0 B．1　　　 C．2 D．3AD　因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．即ω＝1或ω＝．当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD． √√ (2)(2022·江苏盐城期末)设多项式函数f (x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根据代数基本定理可知方程f (x)＝0有n个根x1，x2，…，xn．则x1＋x2＋…＋xn＝ ；x1x2…xn＝ ．－　(－1)n　由题意知：f (x)＝an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)，∴an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0，∴ ，∴ －  (－1)n  对点训练03 1．设实系数一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则的值为(　　)A．－2　　　 B．0C．2　　　 D．4 √ A　[∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3，由对应系数相等得：x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3，＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝4－6＝－2．故选A．]  2．(多选)设实系数一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在复数集C内的根为x1，x2，x3，x4，则下列结论正确的是(　　)A．x1＋x2＋x3＋x4＝－B．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－C．x1x2x3x4＝D．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝ √√ AC　[由题设知：ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－，x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4＝，x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－，x1x2x3x4＝．故选AC．]