2023-2024学年人教A版高中数学选择性必修第三册7.4.1第一课时二项分布（学案）

7.4 　二项分布与超几何分布 7.4.1 　二项分布 新课程标准解读 核心素养 1. 通过具体实例，了解伯努利试验及 n 重伯努利试验的概念 数学抽象 2. 掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题 数学建模、数学运算 第一课时　二项分布 　　 在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环赛，甲、乙两班顺利进入最后的决赛 . 在每一场比赛中，甲班取胜的概率为 0.6 ，乙班取胜的概率为 0.4 ，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制 . 问题 　如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 n 重伯努利试验 1 . 伯努利试验 ：只包含 　两个　 可能结果的试验叫做伯努利试验 . 2 . n 重伯努利试验 ： 将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的 　随机试验　 称为 n 重伯努利试验 . 3 . n 重伯努利试验的共同特征 （ 1 ）同一个伯努利试验重复做 　 n 　 次； （ 2 ）各次试验的结果相互 　独立　 . 1. 伯努利试验有几种结果？ 提示： 两种，事件发生与不发生 . 2. 在相同条件下，有放回地抽样试验是 n 重伯努利试验吗？ 提示： 是，满足 n 重伯努利试验的特征 . 知识点二　二项分布 1. 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p （ 0 ＜ p ＜ 1 ），用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P （ X ＝ k ） ＝ p k （ 1 － p ） n － k ， k ＝ 0 ， 1 ， 2 ， … ， n . 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ～ 　 B （ n ， p ）　 . 2 . 二项分布的均值与方差 （ 1 ）均值：若 X ～ B （ n ， p ），则 E （ X ） ＝ 　 np 　 ； （ 2 ）方差：若 X ～ B （ n ， p ），则 D （ X ） ＝ 　 np （ 1 － p ）　 . 提醒 　 二项分布的特点 ： ① 对立性，即一次试验中只有两个相互对立的结果，即 “ 成功 ” 和 “ 不成功 ” ，而且有且只有一个发生； ② 重复性，试验在相同条件下独立重复地进行 n 次，且每一次试验 “ 成功 ” 的概率和 “ 不成功 ” 的概率都保持不变 . 　二项分布与两点分布有什么关系？ 提示： 当 n ＝ 1 时，二项分布就是两点分布 . 1. 判断正误 . （正确的画 “ √ ” ，错误的画 “×” ） （ 1 ）在伯努利试验中，关注的是事件 A 是否发生，而在 n 重伯努利试验中，关注的是事件 A 发生的次数 . （　　） （ 2 ） n 重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果 . （　　） （ 3 ）进行 n 重伯努利试验，各次试验中事件 A 发生的概率可以不同 . （　　） （ 4 ） n 重伯努利试验是有放回地抽样检验问题 . （　　） 答案： （ 1 ） √ 　（ 2 ） √ 　（ 3 ） × 　（ 4 ） √ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2. 设随机变量 X ～ B （ 6 ， ） ，则 P （ X ＝ 3 ） ＝ （　　） A. B. C. D. 解析： A 　 X ～ B （ 6 ， ） ，则 P （ X ＝ 3 ） ＝ （ ） 3 · （ 1 － ） 3 ＝ . 故选 A. 3. 小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是（　　） A. B. C. D. 解析： D 　 根据独立重复试验的概率公式有 P ＝ （ ）（ ） 2 ＝ . 故选 D. 4. 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9 ，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X ，则 X 的均值为 　　　　　 .   解析： 由题意可知，不发芽的种子数（记为 Y ）服从二项分布，即 Y ～ B （ 1 000 ， 0.1 ），所以 E （ Y ） ＝ 1 000 × 0.1 ＝ 100 ，所以 X 的均值 E （ X ） ＝ 2 × E （ Y ） ＝ 200. 答案： 200 题型一 n 重伯努利试验的判断 【例 1 】 　判断下列试验是不是 n 重伯努利试验： （ 1 ）依次投掷四枚质地不同的硬币， 3 次正面向上； （ 2 ）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了 10 次，其中 6 次击中； （ 3 ）口袋中装有 5 个白球， 3 个红球， 2 个黑球，依次从中抽取 5 个球，恰好抽出 4 个白球 . 解　 （ 1 ）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是 n 重伯努利试验 . （ 2 ）某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是 n 重伯努利试验 . （ 3 ）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是 n 重伯努利试验 . 通性通法　 n 重伯努利试验的判断依据 （ 1 ）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行； （ 2 ）每次试验相互独立，互不影响； （ 3 ）每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生 . 　下列事件是 n 重伯努利试验的是（　　） A. 运动员甲射击一次， “ 射中 9 环 ” 与 “ 射中 8 环 ” B. 甲、乙两运动员各射击一次， “ 甲射中 10 环 ” 与 “ 乙射中 9 环 ” C. 甲、乙两运动员各射击一次， “ 甲、乙都射中目标 ” 与 “ 甲、乙都没射中目标 ” D. 在相同的条件下，甲