2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 5.2.1基本初等函数的导数 学案

5 . 2.1 基本初等函数的导数 素养目标 · 定方向 学习目标 核心素养 借助教材实例了解利用定义求函数的导数 数学抽象　数学运算 掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公 式求简单函数的导数 数学抽象　数学运算 会解决与曲线的切线相关的问题 逻辑推理　数学运算 必备知识 · 探新知 知识点 1 　几个常用函数的导数 函数 导数 f ( x ) ＝ c f ′( x ) ＝ 0 f ( x ) ＝ x f ′( x ) ＝ 1 f ( x ) ＝ x 2 f ′( x ) ＝ 2 x f ( x ) ＝ x 3 f ′( x ) ＝ 3 x 2 f ( x ) ＝ f ′( x ) ＝－ f ( x ) ＝ f ′( x ) ＝ 知识点 2 　基本初等函数的导数公式 函数 导数 f ( x ) ＝ c ( c 为常数 ) f ′( x ) ＝ 0 f ( x ) ＝ x α ( α ∈ Q ，且 α ≠ 0) f ′( x ) ＝ __ αx α － 1 __ f ( x ) ＝ sin x f ′( x ) ＝ __ cos x __ f ( x ) ＝ cos x f ′( x ) ＝ __ － sin x __ f ( x ) ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) f ′( x ) ＝ a x ln a f ( x ) ＝ e x f ′( x ) ＝ __ e x __ f ( x ) ＝ log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) f ′( x ) ＝ f ( x ) ＝ ln x f ′( x ) ＝ __ __ 想一想： f ′( x 0 ) 与 [ f ( x 0 )]′ 有什么不同？ 提示： f ′( x 0 ) 表示函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数，是一个常数，而 [ f ( x 0 )]′ ＝ 0( 当 x 0 确定时， f ( x 0 ) 是一个常数，其导数为 0) ． 练一练： 1 ．若 f ( x ) ＝ ，则 f ′(1) 等于 __ __ ． [ 解 析 ] 　 ∵ f ( x ) ＝ ＝ x ， ∴ f ′( x ) ＝ x － ， ∴ f ′(1) ＝ . 2 ． 若 f ′(2) ＝ ，则 f ( x ) 可以为 ( 　 C 　 ) A ． 2 x 　　 B ． cos x C ． ln x 　　 D ． x 2 [ 解析 ] 　 对于 A ， f ( x ) ＝ 2 x ， f ′( x ) ＝ 2 x ln2 ， f ′(2) ≠ ；对于 B ， f ( x ) ＝ cos x ， f ′( x ) ＝－ sin x ， f ′(2) ≠ ；对于 C ， f ( x ) ＝ ln x ， f ′( x ) ＝ ， ∴ f ′(2) ＝ ；对于 D ， f ( x ) ＝ x 2 ， f ′( x ) ＝ 2 x ， f ′(2) ≠ . 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一 公式法求导数 典 例 1 　 (1) ① y ＝ ； ② y ＝ x · ； ③ y ＝ 3 x ； ④ y ＝ log 5 x . [ 分析 ] 　 先将 ①② 化为幂函数的形式再求导， ③④ 直接用公式求导． [ 解析 ] 　 (1) ① y ′ ＝ ′ ＝ ( x － 4 )′ ＝－ 4 x － 5 ＝－ . ②∵ y ＝ x · ＝ x ， ∴ y ′ ＝ ( x )′ ＝ x ＝ . ③ y ′ ＝ (3 x )′ ＝ 3 x ln3. ④ y ′ ＝ (log 5 x )′ ＝ . (2) 下列结论正确的是 ( 　 C 　 ) A ．若 y ＝ cos x ，则 y ′ ＝ sin x B ．若 y ＝ sin x ，则 y ′ ＝－ cos x C ．若 y ＝ ，则 y ′ ＝－ D ．若 y ＝ ，则 y ′ ＝ [ 解析 ] 　 ∵ (cos x )′ ＝－ sin x ， ∴ A 不正确； ∵ (sin x )′ ＝ cos x ， ∴ B 不正确； ∵ ( )′ ＝ ， ∴ D 不正确．故选 C ． [ 规律方法 ] 　 运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项 (1) 对于简单的函数，直接套用公式． (2) 对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导． 【对点训练】 ❶ (1) f ( x ) ＝ a 3 ( a >0 ， a ≠ 1) ，则 f ′(2) ＝ ( 　 D 　 ) A ． 8 　　 B ． 12 C ． 8ln3 　　 D ． 0 ( 2) 已知 f ( x ) ＝ ，则 f ′(1) ＝ ( 　 D 　 ) A ． 1 　　 B ．－ 1 C ． 3 　　 D ．－ 3 (3) 求下列函数的导数． ① y ＝ x 6 ； ② y ＝ 2 x ； ③ y ＝ log 3 x ； ④ y ＝ . [ 解析 ] 　 (1) f ( x ) ＝ a 3 ( a >0 ， a ≠ 1) 是常数函数， 所以 f ′( x ) ＝ 0. 所以 f ′(2) ＝ 0. (2) f ( x ) ＝ ＝ x － 3 ， 所以 f ′( x ) ＝－ 3 x － 4 ，所以 f ′(1) ＝－ 3. (3) ① y ′ ＝ ( x 6 )′ ＝ 6 x 5 . ② y ′ ＝ (2 x )′ ＝ 2 x ln2. ③ y ′ ＝ (log 3 x )′ ＝ . ④ y ′ ＝ ′ ＝ ( x － 2 )′ ＝－ 2 x － 3 . 题 型二 导数公式的应用 典例 2 　 (1) 曲线 y ＝ 在点 处的切线方程为 ( 　 B 　 ) A ． 4 x － 4 y ＋ 2 － 1 ＝ 0 B ． 4 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0 C ． 4 x － 4 y ＋ 2 － ＝ 0 D ． 4 x ＋ 4 y － 3 ＝ 0 (2) 设曲线 y ＝ e x 在点 (0 ， 1) 处的切线与曲线 y ＝ ( x >0) 上点 P 处的切线垂直，则点 P 处的切线方程为 __ x ＋ y － 2 ＝ 0 __ ． [ 解析 ] 　 (1) 由于 y ＝ ，所以 y ′ ＝ ，于是 y ′| x ＝ ＝ 1 ，所以曲线在点 处的切线的斜率等于 1 ，切线方程为 4 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0. (2) 由题意知， y ′ ＝ e x ，曲线在点 (0 ， 1) 处的斜率 k 1 ＝ e 0 ＝ 1 ，设 P ( m ， n ) ， y ＝ ( x >0) 的导数为 y ′ ＝－ ( x >0) ，曲线 y ＝ ( x >0) 在点 P 处的切线斜率 k 2 ＝－ ( m >0) ．由题意知 k 1 k 2 ＝－ 1 ，所以 k 2 ＝－ 1 ，由此易得 m ＝ 1 ， n ＝ 1 ，即点 P 的坐标为 (1 ， 1) ， k 2 ＝－ 1. 点 P 处的切线方程为 x ＋ y － 2 ＝ 0. 【对点训练】 ❷ (1) 曲线 f ( x ) ＝ 3 x 在点 (0 ， 1) 处的切线方程是 __ y ＝ x ln3 ＋ 1 __ ． (2) 若曲线 f ( x ) ＝ 上某点处的切线的倾斜角为 π ，则该点的坐标为 ( 　 D 　 ) A ． (1 ， 1) 　　 B ． ( － 1 ，－ 1) C ． ( － 1 ， 1) 　　 D ． (1 ， 1) 或 ( － 1 ，