2022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）（全解析版）

2022 年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 2 ．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图： 则 　　 A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3 ．设全集 ， ， 0 ， 1 ， 2 ， ，集合 ， ， ，则 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 4 ．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为 　　 A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 20 5 ．函数 在区间 ， 的图像大致为 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ 2 ） 　　 A ． B ． C ． D ． 1 7 ．在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则 　　 A ． B ． 与平面 所成的角为 C ． D ． 与平面 所成的角为 8 ．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以 为圆心， 为半径的圆弧， 是 的中点， 在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值 的计算公式： ．当 ， 时， 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 12 ．已知 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 　　 ． 14 ．若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 　　 ． 15 ．从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为 　　 ． 16 ．已知 中，点 在边 上， ， ， ．当 取得最小值时， 　　 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）记 为数列 的前 项和．已知 ． （ 1 ）证明： 是等差数列； （ 2 ）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值． 18 ．（ 12 分）在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）求 与平面 所成的角的正弦值． 19 ．（ 12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5 ， 0.4 ， 0.8 ，各项目的比赛结果相互独立． （ 1 ）求甲学校获得冠军的概率； （ 2 ）用 表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望． 20 ．（ 12 分）设抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 ， 两点．当直线 垂直于 轴时， ． （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，记直线 ， 的倾斜角分别为 ， ．当 取得最大值时，求直线 的方程． 21 ．（ 12 分）已知函数 ． （ 1 ）若 ，求 的取值范围； （ 2 ）证明：若 有两个零点 ， ，则 ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数），曲线 的参数方程为 为参数）． （ 1 ）写出 的普通方程； （ 2 ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分） 23 ．已知 ， ， 均为正数，且 ，证明： （ 1 ） ； （ 2 ）若 ，则 ． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2022 年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】由已知求得 ，代入 ，则答案可求． 【解析】 ， ， 则 ．故选： ． 【试题评价】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2 ．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，