求值域的常用方法（方法技巧总结专题）高中数学专题复习

求函数值域 （ 最值 ） 的方法 函数是中学数学的一个重点 , 而函数值域 ( 最值 ) 的求解方法更是一个常考点 , 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域 ( 最值 ) 求法就显得十分的重要， 求 解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域 ( 最值 ) 的求法，希望对大 家 有所帮助。 一、 值域的概念和常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域 . 常见函数的值域： 一次函数 的值域为 R. 二次函数 ，当 时的值域为 ，当 时的值域为 . ， 反比例函数 的值域为 . 指数函数 的值域为 . 对数函数 的值域为 R. 正，余弦函数的值域为 ，正，余切函数的值域为 R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法 适用类型： 根据函数图象 . 性质能较容易得出值域 ( 最值 ) 的简单函数 　　　 　 例 1 、 求函数 y = 的值域 　　 解： 显然函数的值域是： 　 例 2 、 求函数 y = 2 － 的值域。 解： ≥0 － ≤0 2 － ≤ 2 故函数的值域是： [ -∞ ， 2 ] 2 、配方法 适用类型： 二次函数 或可化为二次函数的复合函数 的题型。 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 对于形如 或 类的函数的值域问题，均可用配方法求解 . 例 3 、求函数 y= -2x+5 ， x [-1 ， 2] 的值域。 解： 将函数配方得： y= （ x-1 ） +4 ， x [-1 ， 2] ， 由二次函数的性质可知： 当 x = 1 时， y = 4 当 x = - 1 ，时 = 8 故函数的值域是： [ 4 ， 8 ] 例 4 、求函数的值域： 解：设 ，则原函数可化为： . 又因为 ，所以 ，故， ，所以， 的值域为 . 3 、判别式法 适用类型： 分子 . 分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 的形式，再利用判别式加以判断。 例 5 、 求函数的值域 解： 恒成立， 函数的定义域为 R. 由 得 。 当 即 时， ； 当 即 时， 时，方程 恒有实根 . 且 . 原函数的值域为 . 例 6 、 求函数 y=x+ 的值域。 解： 两边平方整理得： 2 -2 （ y+1 ） x+y =0 （ 1 ） x R ， △=4 （ y+1 ） -8y≥0 解得： 1- ≤y≤1+ 但此时的函数的定义域由 x （ 2-x ） ≥0 ，得： 0≤x≤2 。 由 △≥0 ，仅保证关于 x 的方程： 2 -2 （ y+1 ） x+y =0 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间 [0 ， 2] 上，即不能确保方程（ 1 ）有实根，由 △≥0 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 [ ， ] 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0≤x≤2 ， y=x+ ≥0 ， =0 ， y=1+ 代入方程（ 1 ），解得： = [0 ， 2] ，即当 = 时，原函数的值域为： [0 ， 1+ ] 。 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时， 应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4 、反函数法 适用类型： 分子 . 分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ), 也可用于其它易反解出自变量的函数类型。 例 7 、 求函数 的值域。 分析与解： 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型 , 易反解出 x, 从而便于求出反函数。 反解得 即 知识回顾： 反函数的定义域即是原函数的值域。 故函数的值域为： 。 5 、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 适用类型： 一般用于三角函数型，即利用 等。 例 8 、 求函数 y = 的值域。 解： 由原函数式可得： = ＞ 0 ， ＞ 0 解得： - 1 ＜ y ＜ 1 。 故所求函数的值域为 ( - 1 , 1 ) . 例 9 、 求函数 y = 的值域。 解： 由原函数式可得： ysinx-cosx=3y 可化为： sinx （ x+β ） =3y 即 sinx （ x+β ） = ∵x∈R ， ∴sinx （ x+β ） ∈[-1 ， 1] 。即 -1≤ ≤1 解得： - ≤y≤ 故函数的值域为 [- ， ] 。 6 、函数单调性法 适用类型： 一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减） 例 10 、 求函数 的值域。 分析与解： 由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得： 由复合函数的单调性（同增异减）知： 。 例 11 、 求函数 y = （ 2≤x≤10 ）的值域 解： 令 y = ， = ，则 y ， 在 [ 2 ， 10 ] 上都是增函数。 　 所以 y= y + 在 [ 2 ， 10 ] 上是增函数。 　 当 x = 2 时， y = + = ， 　　 当 x = 10 时， = + =33 。 故所求函数的值域为： [ ， 33] 。 例 12 、 求函数 y= - 的值域。 解： 原函数可化为： y= 令 y = ， = ，显然 y ， 在 [1 ， +∞ ）上为无上界的增函数，所以 y= y + 在 [1 ， +∞ ）上也为无上界的增函数。 所以当 x = 1 时， y=y + 有最小值 ，原函数有最大值 = 。 显然 y ＞ 0 ，故原函数的值域为 ( 0 , ] 。 7 、换元法 通过简单的换元把一个