2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）（原卷全解析版）

2021 年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．（ 5 分）设 2 （ z + ） +3 （ z ﹣ ）＝ 4+6 i ，则 z ＝（　　） A ． 1 ﹣ 2 i B ． 1+2 i C ． 1+ i D ． 1 ﹣ i 2 ．（ 5 分）已知集合 S ＝ { s | s ＝ 2 n +1 ， n ∈ Z } ， T ＝ { t | t ＝ 4 n +1 ， n ∈ Z } ，则 S ∩ T ＝（　　） A ． ∅ B ． S C ． T D ． Z 3 ．（ 5 分）已知命题 p ： ∃ x ∈ R ， sin x ＜ 1 ；命题 q ： ∀ x ∈ R ， e | x | ≥1 ，则下列命题中为真命题的是（　　） A ． p ∧ q B ．￢ p ∧ q C ． p ∧ ￢ q D ．￢（ p ∨ q ） 4 ．（ 5 分）设函数 f （ x ）＝ ，则下列函数中为奇函数的是（　　） A ． f （ x ﹣ 1 ）﹣ 1 B ． f （ x ﹣ 1 ） +1 C ． f （ x +1 ）﹣ 1 D ． f （ x +1 ） +1 5 ．（ 5 分）在正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， P 为 B 1 D 1 的中点，则直线 PB 与 AD 1 所成的角为（　　） A ． B ． C ． D ． 6 ．（ 5 分）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（　　） A ． 60 种 B ． 120 种 C ． 240 种 D ． 480 种 7 ．（ 5 分）把函数 y ＝ f （ x ）图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 y ＝ sin （ x ﹣ ）的图像，则 f （ x ）＝（　　） A ． sin （ ﹣ ） B ． sin （ + ） C ． sin （ 2 x ﹣ ） D ． sin （ 2 x + ） 8 ．（ 5 分）在区间（ 0 ， 1 ）与（ 1 ， 2 ）中各随机取 1 个数，则两数之和大于 的概率为（　　） A ． B ． C ． D ． 9 ．（ 5 分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点 E ， H ， G 在水平线 AC 上， DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为 “ 表高 ” ， EG 称为 “ 表距 ” ， GC 和 EH 都称为 “ 表目距 ” ， GC 与 EH 的差称为 “ 表目距的差 ” ， 则海岛的高 AB ＝（　　） A ． + 表高 B ． ﹣表高 C ． + 表距 D ． ﹣表距 10 ．（ 5 分）设 a ≠0 ，若 x ＝ a 为函数 f （ x ）＝ a （ x ﹣ a ） 2 （ x ﹣ b ）的极大值点，则（　　） A ． a ＜ b B ． a ＞ b C ． ab ＜ a 2 D ． ab ＞ a 2 11 ．（ 5 分）设 B 是椭圆 C ： + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满足 | PB |≤2 b ，则 C 的离心率的取值范围是（　　） A ． [ ， 1 ） B ． [ ， 1 ） C ．（ 0 ， ] D ．（ 0 ， ] 12 ．（ 5 分）设 a ＝ 2 ln 1.01 ， b ＝ ln 1.02 ， c ＝ ﹣ 1 ，则（　　） A ． a ＜ b ＜ c B ． b ＜ c ＜ a C ． b ＜ a ＜ c D ． c ＜ a ＜ b 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．（ 5 分）已知双曲线 C ： ﹣ y 2 ＝ 1 （ m ＞ 0 ）的一条渐近线为 x + my ＝ 0 ，则 C 的焦距为 　 　 ． 14 ．（ 5 分）已知向量 ＝（ 1 ， 3 ）， ＝（ 3 ， 4 ），若（ ﹣ λ ） ⊥ ，则 λ ＝ 　 　 ． 15 ．（ 5 分）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为 ， B ＝ 60° ， a 2 + c 2 ＝ 3 ac ，则 b ＝ 　 　 ． 16 ．（ 5 分）以图 ① 为正视图，在图 ②③④⑤ 中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 　 　 （写出符合要求的一组答案即可）． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 s 1 2 和 s 2 2 ． （ 1 ）求 ， ， s 1 2 ， s 2 2 ； （ 2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ﹣ ≥2 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 18 ．（ 12 分）如图，四棱锥 P ﹣ ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ， PD ＝ DC ＝ 1 ， M 为 BC 中点，且 PB ⊥ AM ． （ 1 ）求 BC ； （ 2 ）求二面角 A ﹣ PM ﹣ B 的正弦值． 19 ．（ 12 分）记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和， b n 为数列 { S n } 的前 n 项积，已知 + ＝ 2 ． （ 1 ）证明：数列 { b n } 是等差数列； （ 2 ）求 { a n } 的通项公式． 20 ．（ 12 分）已知函数 f （ x ）＝ ln （ a ﹣