2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算 学案

1.1.2　空间向量的数量积运算 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．(易混点) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．了解投影向量的概念以及投影向量的意义．(难点) 4．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点) 1．通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养． 2．借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养． 3．借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 回忆平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角如何定义，并尝试总结两者的不同之处． 知识点1　空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O ，作 ＝ a ， ＝ b ，则∠ AO B 叫做向量 a ， b 的夹角，记作 〈 a ， b 〉 ． (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是[0，π]．特别地，当 θ ＝ 0 时，两向量同向共线；当 θ ＝ π 时，两向量反向共线，所以若 a ∥ b ，则〈 a ， b 〉＝0或π；当〈 a ， b 〉＝ 时，两向量 垂直 ，记作 a ⊥ b ． 1．(1)对空间任意两个非零向量 a ， b ，〈 a ， b 〉，〈 b ， a 〉，〈－ a ，－ b 〉有怎样的关系？ (2)对空间任意两个非零向量 a ， b ，〈 a ， b 〉，〈－ a ， b 〉〈 a ，－ b 〉有怎样的关系？ [提示]　(1)〈 a ， b 〉＝〈 b ， a 〉＝〈－ a ，－ b 〉． (2)〈－ a ， b 〉＝〈 a ，－ b 〉＝π－〈 a ， b 〉． 1．如图所示，在正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中， (1)〈 ， 〉＝________； (2)〈 ， 〉＝________； (3)〈 ， 〉＝________； (4)〈 ， 〉＝________． (1) 　(2) 　(3) 　(4)π　[(1)〈 ， 〉＝〈 ， 〉＝ ； (2)〈 ， 〉＝〈 ， 〉＝π－〈 ， 〉＝ ； (3)〈 ， 〉＝〈 ， 〉＝ ； (4)〈 ， 〉＝〈 ， 〉＝π．] 回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由． 知识点2　空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量 a ， b ，则 | a || b |cos〈 a ， b 〉 叫做 a ， b 的数量积，记作 a · b ．即 a · b ＝ | a || b |cos〈 a ， b 〉 ． 规定：零向量与任意向量的数量积为 0 ． (2)空间向量的数量积的性质 ① a · e ＝ e · a ＝| a |cos〈 a ， e 〉(其中 e 为单位向量)； ② a ⊥ b ⇔ a · b ＝0 ； ③当 a 与 b 同向时， a · b ＝ | a || b | ，当 a 与 b 反向时， a · b ＝ －| a || b | ； ④ a · a ＝ a 2 ＝| a | 2 或| a |＝ ＝ ； ⑤若 a ， b 为非零向量，则cos〈 a ， b 〉＝ ； ⑥| a · b |≤| a || b |(当且仅当 a ， b 共线时等号成立)． (3)空间向量的数量积的运算律 ①( λ a )· b ＝ λ ( a · b )， λ ∈ R ； ② a · b ＝ b · a (交换律)； ③( a ＋ b )· c ＝ a · c ＋ b · c (分配律)． 2．(1)对于向量 a ， b ， c ，由 a · b ＝ a · c ，能得到 b ＝ c 吗？ (2)对于向量 a ， b ， c ，( a · b )· c ＝ a ·( b · c )成立吗？为什么？ [提示]　(1)不能．例如，在正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中， · ＝ · ＝0，但 ， 不相等． (2)不成立．例如，任取三个不共面向量 a ， b ， c ，( a · b )· c 是一个数与向量 c 作数乘， a ·( b · c )是一个数与向量 a 作数乘，而 a ， c 不在同一个方向上，所以( a · b )· c 与 a ·( b · c )不可能相等． 对于向量 a ， b ，若 a · b ＝ k ，则不能写成 a ＝ 或 b ＝ ，向量没有除法． 2．正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长等于2，则 · ＝________． 4　[| |＝| |＝2 ，〈 ， 〉＝60°， ∴ · ＝| || |cos 60°＝2 ×2 × ＝4．] 知识点3　向量 a 的投影 (1)向量 a 向向量 b (直线 l )的投影 如图①，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c ， c ＝| a |cos〈 a ， b 〉 ，向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量．类似地，可以将向量 a 向直线 l 投影(如图②)． (2)向量 a 向平面 β 的投影 如图③，向量 a 向平面 β 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 β 的垂线，垂足分别为 A ′， B ′，得到向量 ，向量 称为向量 a 在平面 β 上的投影向量．这时，向量 a ， 的夹角就是向量 a 所在直线与平面 β 所成的角． ①　　　　 　②　　　　　　③ 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量 a 在向量 b 上的投影向量与向量 b 的方向相同． (　　) (2)向量 a 在直线 l 上的投影向量 c 与向量 a － c 垂直． (　　) (3)向量 a 在平面 β 上的投影向量为 c ，则向量 a 所在直线与平面 β 所成的角为〈 a ， c 〉． (　　) [提示]　(1)×　当〈 a ， b 〉> 时，反向． (2)√　根据向量向直线的投影定义可知， c 与 a － c 垂直． (3)√　根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确． 类型1　空间向量的数量积的计算 【例1】　(对接教材P 7 例题)如图所示，在棱长为1的正四面体 A ­ BCD