2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 空间向量的数量积运算 课件

[课标解读]　1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度． 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教材要点要点一　空间向量的夹角1．夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作________． 状元随笔　关键是起点相同！ 〈a，b〉 2．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________．状元随笔　两个向量的夹角是唯一确定的，且〈，〉＝〈，〉． π垂直a⊥b 要点二　空间向量数量积1．概念：已知两个非零向量a，b，则______________叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．状元随笔　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．(2)零向量与任意向量的数量积等于零．2．投影向量：向量a向向量b投影，得到c＝______________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．|a||b|cos 〈a，b〉|a|cos 〈a，b〉  3．性质a⊥b⇔______，|a|2＝_____,|a|＝________，cos 〈a，b〉＝________4．运算律λ(a·b)＝________，a·b＝________(交换律)．a·(b＋c)＝__________(分配律)． 状元随笔　特别提醒：不满足结合律( ·) ·＝ ·( ·)． a·b＝0a·a  (λa)·bb·aa·b＋a·c 基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)向量a在向量b上的投影向量c＝|a|cos 〈a，b〉·.(　　)(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　)(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)(4)在△ABC中，〈〉＝∠B.(　　) √××√ 2．(多选)设a，b为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是(　　)A．a2＝|a|2B．＝C．(a·b)2＝a2·b2D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 答案：AD 3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　)A．与 B．与C．与 D．与 答案：A解析：因为＝，所以与的夹角为45°，故A正确；因为＝，所以与的夹角为135°，故B不正确；因为＝，所以与的夹角为90°，故C不正确；因为＝，所以与的夹角为180°，故D不正确．  4．在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，设＝a，＝＝c，则a·(b＋c)的值为(　　)A．1 B．0C．－1 D．－2 答案：B解析：由题意可得AB⊥AD，AB⊥AA1，所以a⊥b，a⊥c，所以a·b＝0，a·c＝0，所以a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. 5．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________． 解析：∵cos 〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝.  题型探究·课堂解透 题型 1　数量积的运算例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：①·；②·；③·；④·.  解析：①·＝·＝||||cos 〈〉＝cos 60°＝.②·＝·＝||2＝.③·＝·＝||·||·cos 〈〉＝ cos 120°＝－.④·＝·()＝··＝||||cos 〈〉－||||cos 〈〉＝cos 60°－cos 60°＝0.  方法归纳计算空间向量数量积的2种方法 巩固训练1　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 的边长为1，求：；；． 解析：＝0＝|cos 45°＝1.＝〉＝＝－1.  题型 2　用数量积求角度例2　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．0 解析：不妨设棱长为2，则＝－＝，，〉＝＝＝0.  方法归纳利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 巩固训练2　如图，在正方ABCD-A1B1C1D1中，求与夹角的大小．  解析：不妨设正方体的棱长为1，则·＝)·()＝)·()＝·＝0＋＋0＋0＝＝1，又因为|＝，||＝，所以，〉＝＝＝.因为，〉∈[0，π]，所以，〉＝，即与夹角的大小为.  题型 3　用数量积判断或证明垂直问题例3　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 证明：连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又＝)＝＝(a＋b＋c)，＝c－b.∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.∴⊥，即OG⊥BC.  方法归纳利用向量数量积判断或证明垂直问题的策略 巩固训练3　已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)垂直解析：∵·＝()·()＝··－·＝·()＝·＝0，∴AD与BC垂直．  题型 4　用数量积求长度例4　如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为________．7解析：∵＝，∴||2＝·＝()2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.∴PC＝7.  方法归纳求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．  巩固训练4　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 解析：因为＝，所以＝)2＝)．因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝6